以下の内容はhttps://yaruonichijou.blog.fc2.com/blog-entry-47516.htmlより取得しました。


読者投稿:ガリレオの思考実験

目次 国際的な小咄

1643 : レベルを上げて物理で殴る ◆/jI1AXWoc. : 2020/11/28(土) 23:29:53 ID:mdIDsGPE


01/48 再掲

      , ── 、
   ゝ/______ヽ
    | | / -、 -、|    どうも、
    |__|─|   ・|・  |
    (   ` - o- |   レベルを上げて物理で殴るです。
      \   ___っ ノ
      /ヽ、__─、- ´    自分の投稿がまとめられているのを見てにやにやしています。
     /^\/\/ヽ
     |  |     | |

02/48 再掲

       , ──-  、
    ゝ/______\
    /  |  / , - 、 - 、l    やっぱりいいもんですね。
     l   |  /     l     l
     l  |─|   ^|^   |   第三者に掲載価値ありと認めてもらえるというのは。
      Y⌒  ` ─  ヘー ヽ
     ヽ_   |`───┘ノ
  ∩    ヽ、_ヽ__//    ∩
 ┘`ー┬─´\/\/ー┬─´ └-、
 _ __|_ ノ     |_|___三
        |        |

.





1644 : レベルを上げて物理で殴る ◆/jI1AXWoc. : 2020/11/28(土) 23:30:32 ID:mdIDsGPE


03/48 再掲

    , ── 、
 ゝ/ _____ヽ
 /  | / -、 -、!    さて、投稿に対するコメントに、以下のようなものがありました。
. |  |─|   ・|・  |
 Y⌒   ー oー l
  ヽ_    , ─,  l
    ヽ、__(_ //
    /\/ヽ/ヽ

>136037 :日常の名無しさん:2020/11/25(水) 09:42:29 ID:-[ ]

>重い物の方が落下の加速度が早いと仮定する
>1kgの鉄球と100kgの鉄球では、1kgの鉄球の方が加速度が小さい
>そのため1kgの鉄球と100kgの鉄球を紐で結んで落とすと、1kgの鉄球の小さい加速度に引っ張られるために100kgの鉄球の加速度は小さくなる
>しかし紐で結んだ2つの鉄球を1つの101kgの物体と考えれば、100kgの鉄球より加速度は大きくなければいけないので矛盾する
>矛盾が出たので最初の仮定は誤り
>
>ガリレオはこの思考実験のパラドックスを使ったそうなんだけど
>これはどうやって解決するんだろ


04/48 再掲

        .,,ー''''''''''''''丶、
      ∠____、  ` 、
      !〆\, ノ ¬.ミ    !.   これは良い質問です!
      ._|  ミ||0~  ).!  . }
  .-、  ( \__人._..ノ三''Y゙/ )   学部一回生の力学の試験に、
  | .l゙  ( C__..イ~゙ノ    ソ
  .|.,ゝ,...∩\\.L レ゚__ ノ ̄     上記を説明せよと出して、
  .| --,,)/  .>n--''" ,ト-、、
  .! ⌒'),! /( .レ~\ / (  \.    3時間ぐらい考えさせたい問題です。
   ヽ`'".ヘv.ヘ   ゙   ヽ  ゙z'

.


1645 : レベルを上げて物理で殴る ◆/jI1AXWoc. : 2020/11/28(土) 23:31:00 ID:mdIDsGPE


05/48 再掲

            ,. -‐====‐-  、
         xく: ∠⌒ ヽγ⌒`ヽ:::::::::::`ヽ
       /:::::::::{  ̄`ー}{一'´ ̄ }:::::::::::::::::\
     〃:::::::,. -‐',  ≧人≦   .从:::::::::::::::::::::\       おいおい、ここはFラン大だぞ。
.    /::::, : ´   `ー㨨ヽ _ ノ  .`ヽ,、:::::::::::::::ヽ
    /:::::,′      {:::::::::ノ       { }丶::::::::::::∧     採点した後、ほとんど0点で
    ,':::::/ ´ ̄ ̄`ー   ̄「´  ,. -‐==='{ } ヽ::::::::::::::}
   {:γ -‐…―-.    |   __   ´   .∨:::::::::|     そいつらを落とすわけにもいかず、
   {/     ,. -‐     |        ̄`丶   }:::::::::|
   i ,.∠⌒ヽ        |   `丶        | :::::::ノ      苦しむ羽目に会うのは自分だよ、のび太君。
   ', {          |       `丶 、   }::::::,′
    ヽ ヽ.     ,. -‐=┴‐- 、      `ヽ  八::/
      \`ー´ ̄          ` "'' ‐- ,,.._   ノ:::/
       \                 `  八'
       (三三三三三三三三三三三三三三)
       √`ー―∠_⌒ ヽ――丶―――‐一'
       {:::::::/  人 ♀ ヲ     `ヽ:::::::::::::::∧
       |::γ    `ー ´         ∨::::::::::::::|

06/48 再掲

            _____
           /        ヽ∟  /^ \
    _    /________  ヽ  (_/  ヽ
         |ノ─ 、/─ 、ヽ |  ヽ (_\/ .|     うるさいなぁ。
            ,|  \ |・   |  |   j   ヽ `-ノ
.          ||  二 |     | ̄ ⌒ヽ′ /   /      点数を√※するとか、いろいろ手があるんだよ。
     /   /ー C ` ─ \)   _ノ  /    /
         ! ⊂──´⌒ヽ   ノ/(    / ノノ
           \ \_(⌒⌒_) /!  ヽ、/
            ` ,┬─_- ´/ ヽ /
             / |/ \/   く
         ((  /\ \        ヽ
           /, ─ 、/ \       /\
.           (  l l j  \ ___ /   ヽ

※100×√(点数/100)で、点数を換算すると、36点が60点(可)になるのです!


1646 : レベルを上げて物理で殴る ◆/jI1AXWoc. : 2020/11/28(土) 23:31:19 ID:mdIDsGPE


07/48 再掲

     ――--、..,
     :::::::,-‐、,‐、ヽ.
     :::::_|/ 。|。ヽ|-i、    いつもテストで苦労していたのに、
     /. ` ' ● ' ニ 、
     ニ __l___ノ   自分がそういう立場になったら愉悦を感じるって
     / ̄ _  | i
     |( ̄`'  )/ / ,..   歪んじゃったね、のび太君。
     `ー---―' / '(__ )
     ====( i)==::::/
     :/     ヽ:::i


08/48 再掲
               ___
          ,   ´//////////> 、
         ///////////////////\/
        '///∠∠∠∠∠∠、///////ゝ─
         /イ ̄__    _  <///// ∧
        | /  __ ヽ /_  \ \////∧   ははーん。
.         r‐|  / ◎ } }' /◎ヽ   ,  ∨/// }
       { |  |/¨  | ´─、 } |_ レ- 、/   実は、ドラえもん、
        、 ヽ   r、'ヽ     /      / }
       {\{  ̄ ̄   ` ─‐ ′/}   {ノ }   この問題解けないからそんなこと言ってるんだろ?
        ゝ__ ノ} ̄ :\ ___ ノ:::|   __ノ
  r──‐      }:::::::::::::::::::::::::::::::::_::|  /
  ゝ__  \    }::::::::::r‐‐、:::::::/ }:, /|
    /─/  ' r- }:::::::::\   ̄  // /ノ\
   廴 {   ,  i\ ` ‐- ::: ̄ ̄ / /   /ヽ
   {_ フイ   |--` ‐- 二二二 ´   //  ',
   {__ノ    /      V´   \//   ,
      ` ─ ´───── |       }   }

.


1647 : レベルを上げて物理で殴る ◆/jI1AXWoc. : 2020/11/28(土) 23:31:41 ID:mdIDsGPE


09/48 再掲
            ____
       .  // ⌒ ⌒ヽ  `\
        //|/’ |,\|ヽ    ヽ っ
   (( _/ ヽ ー● ー ´  \  ヽ っ   そ、そんなわけないじゃないか。
     ヽ  二  /   三     ヽ   l
       `ー⌒ー⌒ヽ、__/⌒ヽ  |   |     のび太君程度が喜ぶ問題なんだ、
             )      |  l /⌒ヽ
     /⌒ヽ __(二二二)__ノ / >、_ ノ    簡単に解けるさ。
    (( ヽ _ ノ`━━O━━━━/   / ノノ
.       \/ /     \     /


10/48 再掲

        / ____ヽ
        |  | /, -、, -、l
        | _| -|  ・|< ||
    , ―-、 (6  _ー っ-´、}     じゃあ、解いて見せてよ。
    | -⊂) \ ヽ_  ̄ ̄ノノ
     | ̄ ̄|/ (_ ∧ ̄ / 、 \   ヒントは以下の7つ
     ヽ  ` ,.|     ̄  |  |
       `- ´ |       | _|
         .|       (t  )

(1) 地球と物体1、物体2の3つについての運動方程式を立てるとよい。

(2) 物体1と物体2の間の万有引力は微小なので0と置く近似を用いる。

(3) 物体1と物体2の重心座標を使うと見通しが良くなる。

(4) 運動方程式を解かなくてもよい。

(5) |x|が微小の時、(1+x)^y ≒ 1 + x yと近似できる。

(6) 物体1,2と地球は一直線上にあるとして、位置関係を決め打ちしてよい。

(7) 解答に潮汐力が入っているとポイントが高いよ。


1649 : レベルを上げて物理で殴る ◆/jI1AXWoc. : 2020/11/28(土) 23:31:57 ID:mdIDsGPE


11/48 再掲

       ー…―― 、
     / /<ハ/⌒> `>、
    / 斗 → l ←  l    ヽ
   , /  ゝγ⌒ヽ_ノ ヽハ   `
  , , ー― 、ゝr イ __.U ヽ  ヽ
 , , ー―-   !  ___   ',   ,
 lY   /   !  、   `ヽ  ,  .|
 ', /⌒       !   > 、   l ,:
  ヽ乂__ ー┴一 、_   ヽ  , /
.   \          > 、 ル
     にニニニニニニニニニう
     / γ∠ニム――<――{
    ,  / ゝΩノ     V  ヽ


さて、折角なので、皆さんもドラえもんと考えてみてください。
6時間くらい時間を空けます。


1650 : レベルを上げて物理で殴る ◆/jI1AXWoc. : 2020/11/28(土) 23:32:39 ID:mdIDsGPE

ここから、続きを投稿していきます。


1651 : レベルを上げて物理で殴る ◆/jI1AXWoc. : 2020/11/28(土) 23:33:00 ID:mdIDsGPE


12/48

      ______
    /    / ⌒ヽ ⌒ヽヽ
   /     , ┤ /・|・\ |、 \      何はともあれ、文字を定義しよう。
  /   /   ` ー ● ー ′\ヽ
 l    /  ──  |  ──  ヽ     物体1 物体2 地球の加速度 a, α, A
 |  /    ──  |  ──  |
 l  |    ──  |  ー─  l     物体1 物体2 地球の位置  r, ρ, R
  l   |        |        /
  ヽ ヽ   / ̄ ̄ ̄\   /      物体1 物体2 地球の質量  m, μ, M
   >━━━━━O━━━く
  /    /      ヽ  ヽ

13/48
      _____
    /   - 、-、 \
   /   , -| /・|・\|- 、ヽ
  /   / U ` -●- ′ ヽi.    癪だけど、のび太君のヒント(3)に従って、
  |  /  二   |  二   |
  |  |   ─   |__ ─  !    物体1と物体2の重心座標をx、
  ヽ ヽ       __)   /
   \ ヽ     _)   /     物体1と物体2の重心加速度をβ
    l━━6━━━━┥
    | /    \   |      と置こう。

.


1652 : レベルを上げて物理で殴る ◆/jI1AXWoc. : 2020/11/28(土) 23:33:21 ID:mdIDsGPE


14/48
      ______
    / / ̄ヽ ̄ヽ\
   / _|  / |ヽ |_\      当然、
  /  /  `ー ● -   ヽ
  | / , 二   |   二、ヽ     x =(m r + μ ρ)/(m + μ)
  | | | ─    |   ─ ||
  ヽヽ .\    |    //     β=(m a + μ α)/(m + μ)
   \ヽ `'ー─┴─‐''" /
    (二二二(〒)二二)      が得られる。
    /  /     \|ヽ

15/48
     ____
.   /   /⌒ヽ⌒ヽ 、     運動方程式を立てる前に、
  /   , -|/ ・|< |、\
 /   /   `ー ●ー ′ ヽ   どういう風に問題を料理するか考えてみよう。
 l  /   三.  |  三  |
 |   l  /⌒\_|_/^l l
 l  | l , ─ 、- 、     l /
  ヽ l ヽ ___)__ / /
   〉━━━O━━━´⌒ヽ
  /  /      ヽ   l   l

.


1653 : レベルを上げて物理で殴る ◆/jI1AXWoc. : 2020/11/28(土) 23:34:00 ID:mdIDsGPE


16/48
      _____
    /   - 、-、 \     最初、物体1と物体2は大体同じような位置にあって、
   /   , -| /・|・\|- 、ヽ
  /   / U ` -●- ′ ヽi.    それよりもずっと離れたところに地球の中心があって
  |  /  二   |  二   |
  |  |   ─   |__ ─  !    物体1と物体2が地球の中心に近づいていく運動を調べたいのね(衝突する手前までが解析範囲)。
  ヽ ヽ       __)   /
   \ ヽ     _)   /     で、物体1,2の距離が地球よりもずっと小さいことを利用して、
    l━━6━━━━┥
    | /    \   |      (5)を使うイメージかな。

17/48

       ____
      / - 、‐ 、    \
     / -| (・|・) |- 、  U      のび太君のヒント(6)から、r, ρ, Rはベクトルでなく、実数としてよいよね。
   /  `-●‐ ′  \   ヽ
    i 二 __|  二 U   i   i    で、位置関係から、
   _| ─ (__   ─   |   !
 (__)    (_       |   /     R <ρ≦r
  |  ヽ            /  /
  .ヽ  ` ━━6━━━━┥      と決め打ちするかな。

                      物体1と2の位置関係がひっくり返りそうなら、その時に再考するイメージで。

※従って、ρ≦x=(m r + μ ρ)/(m + μ)≦rです。


1654 : レベルを上げて物理で殴る ◆/jI1AXWoc. : 2020/11/28(土) 23:34:51 ID:mdIDsGPE


18/48

      ______
    /    / ⌒ヽ ⌒ヽヽ
   /     , ┤ /・|・\ |、 \    問題によると、物体は紐でつながっているから、
  /   /   ` ー ● ー ′\ヽ
 l    /  ──  |  ──  ヽ  物体1,2はある一定距離を超えることはなく、
 |  /    ──  |  ──  |
 l  |    ──  |  ー─  l  ある瞬間から張力として、物体1にはマイナスの方向の、物体2にはプラスの方向の力が働くと。
  l   |        |        /
  ヽ ヽ   / ̄ ̄ ̄\   /
   >━━━━━O━━━く
  /    /      ヽ  ヽ

19/48

      ___
   /   - 、- 、\     物体1,2にかかる地球の重力はrからRに向かう方向に働く引力だから、
  /   , -|/ ・|∠ !-ヽ
  i   /  `- ●-′ i.    マイナスの値で、
  |  i   三   | 三 )
  ! |   / ̄ ̄ ̄/ ̄    地球に働く物体1,2の重力はプラスだね。
  ヽ ヽ ヽ(二二)_
   l━━━o━-○


20/48

      ,. -――‐- ._
    ,. '´ /⌒ヽ /⌒ヽ `ヽ
   /    !  o l_!o   !   ヽ   以上をもとに、運動方程式を立ててみよう。
.. /  ,. ‐へ_,ノ-ヽ__ノ‐、  ヘ
 ,' / ``'''ー-  ゙、_,ノ  -‐''" ヽ  ',  T≧0を張力として、ヒント(2)から重力項を落とすと……
 ! l  ̄ ̄_   |   _ ̄ ̄ l  |
 l l ‐弋´   |   `~フー ! l  m a = -GMm / (r-R)^2 -T
. ', ',    >-、_ | _,. -'"   / /
  VV  {   )  ̄      / /   μα = -GMμ / (ρ-R)^2 +T
   ヽ/ `ー'_____,//
   /    /--/⌒ヽ----┘、    M A = GMm / (r-R)^2 + GMμ / (ρ-R)^2
   l     /  ヒΤフ  ヽ  \

.


1655 : レベルを上げて物理で殴る ◆/jI1AXWoc. : 2020/11/28(土) 23:35:14 ID:mdIDsGPE


21/48
                      ,......:::-‐=‐- .......
.                ,..,'rく⌒ヽ::,r= 、::::::::::::`::≧x、
            ,x≦:::/  \ ,}::{./  ',::::::::::::::::::::::::::\      そろそろ(5)の近似をつかうかな。
          /::::::::::::{   ,.-.l|l.-、   ト-x、:::::::::::::::::::::`、
            /:::x, イ¨´ヽ  l◎.|.◎!   ノ   `ヽ,::::::::::::::::::\    地球の中心から物体1,2の重心までの距離は
.         ,':::/ ヽ、   ゝ=≦≧= =彡  , イ  \:::::::::::::::::',
.         /::==‐   _   ヾ圭彡'  彡'       ヽ:::::::::::::::..   物体と物体1,2の重心より遥かに大きいので、
        |/ r=、  ̄      {      _,,..-‐''"´   ,‘,::::::::::::::}
        { |! ___     {      __       / .}:::::::::::::}   |r-x| << |x-R |
        | ヾ          {         ̄ ==xイ __ !:::::::::::::}
.             \         |           _,彡'/    !::::::::::::,   |ρ-x| << |x-R |
.          ',  `二==  __|______, イ   /     ,:::::::::::,
           ヾ  `ミ|  |   |    |    |_彡'     ,:::::::::,イ    つまり、
          ヽ   、  |   |    |  x≦     /:::::::/
              \  ` ̄ ====彡'         /::::/      |r-x| / |x-R | << 1
            《ヽ=======|===============ニ二}
           ,::!ヾ三三三,イ=、三三三三二ニ=≦゙∧      |ρ-x| / |R-x | << 1
          /:::,'::::::, イ  { ̄i ̄}  ̄ ` ヽ:::::::::::::::::::::::::::∧
            /:::::{::::/.    ゝ┴..'      ヽ::::::::::::::::::::::::∧



22/48
                     ____
               . . :,x≦ 、: : :,,イ/ヾ:` :..
             /: : /  \`,ili!,'/   !: : : : :`ヽ            重力項に近似式を適用すると、
.              /: , =1  三ヾi!i!・)   ,_: : : : : : : : \
          ̄: ` :〆、  ゝ-, ;;;;;;;;;;;)ヽ _/  ヾ.: : : : : : : :\         1/ (r-R)^2 = (r-x + x - R)^(-2)
       , ´ ̄` ゝ   ヽ  ヾ;;;;;彡'  ─‐‐ =' 丶.: : : : : : : ヽ
       ゝ─‐─‐‐---    |l       ̄ ̄ ̄  丶 : : : : : ::...                   = (x-R)^(-2) * (1 + (r-x)/( x-R ))^(-2)
         > _  ==─    |   _..,,x== x、  丶 : : : : : :.!
.         { ` |`>=‐----─-‐ 彡  , =..、     ヾ  i : : : : :::                 ≒ (x-R)^(-2) * (1 -2 (r-x)/( x-R ))
              li         x≦三} {三三ヽ    、 ¦ : : : : i!
                 , -x,;ニ三ヾ='彡三ニ!    }  } : : : : ::,                 =1/ (x-R)^2 - 2 (r-x)/( x-R )^3
           \ \    (   ` ‐-‐ '       )  ,  ,: : : : : ソ
             \ \   ヽ  ,, = 、       /   ,' /: : : : :/           1/ (ρ-R)^2 ≒1/ (x-R)^2 + 2 (x -ρ)/(x-R)^3
.          _ _  ,ゝ  ヾ==彡'   ` =====彡' , : :_:_:_/_
    , =x≦: : : : : `》三三三三=三三三三三三三二x≦: : : : :`/ ̄   、
   ,      ヾ: : : : : :/ : : x≦ {=== }    ≧x : : : : : : : : : : : : : { /   )
   l     , : : : : /: : :/   ヾ┴ '        ヽ : : : : : : : : : : : :ヾ  __,彡'
.   弋_  イ´  ̄`i: : :/                | : : : : : : i´ ̄ ̄´

※R<ρ≦ x=(m r + μ ρ)/(m + μ) ≦ r に基づき、かっこの中が正になるよう整理しています。


1656 : レベルを上げて物理で殴る ◆/jI1AXWoc. : 2020/11/28(土) 23:35:40 ID:mdIDsGPE


23/48
      , --───-  、
    /    / ⌒ヽ./⌒ヽ\      近似で出てきた項について、
   /   , -{  / ハヽ  } 、 ヽ
  /  /  ゝ _ ノ, ‐ヽ-'  \ヽ    m (r - x)/(x- R)^3 - μ (x - ρ)/(x- R)^3
  / ‐┼──-   ゝ ノ  - ‐一!|‐
  |   l.、, -一    |  ー─- lL_   =1/(x-R)^3 (m(r - x)+μ (ρ-x ))
  |  / \./     |  ー-./ !
  、 ' l. /\_   | _/ /\   =0
  ヽ  X        ̄ ̄   /
   /、二二二二二二二二 く       だね。
  /      /  ( 〒)\ ヽ
  !  /  /         }   !     重心座標が利いてるね。




24/48
        _____
      /.- 、 -、    \
    / |  ・|・  | -、  \         近似結果を運動方程式に入れると、
   // `-● - ′  \   ヽ
   |  三  |   三    ヽ  ヽ      m a = -GMm/ (x-R)^2 + 2GMm (r - x)/(x-R)^3 -T
   | (____|____   |   |
   |  \.        /   |   |       μα = -GMμ/ (x-R)^2 - 2GMμ (x - ρ)/(x-R)^3 +T
   ヽ  \/ ̄ ̄ ̄ヽ/   / /
   _ ヽ   `───-′  / / _       MA = GMm/ (R-x)^2 +GMμ/ (R-x)^2

※第3式は23/46を使っています。


25/48
        _____
      /.- 、 -、    \           第1式+第2式より※、
    / |  ・|・  | -、  \
   // `-● - ′  \   ヽ       (m a + μα) = (m+μ)β = -GM (m+μ)/ (x-R)^2+ 2GMm (r - x)/(x-R)^3+ 2GMμ (x - ρ)/(x-R)^3
   |  三  |   三    ヽ  ヽ
   | (____|____   |   |                       = -GM (m+μ)/ (x-R)^2
   |  \.        /   |   |
   ヽ  \/ ̄ ̄ ̄ヽ/   / /          第3式を整理して、
   _ ヽ   `───-′  / / _
  (  )ヽ━━( t )━━━ /(  )         MA = GM (m+μ)/ (x-R)^2
   \  /      \   /

※23/46を使っています。


1657 : レベルを上げて物理で殴る ◆/jI1AXWoc. : 2020/11/28(土) 23:36:45 ID:mdIDsGPE


26/48

                 /
              /    か パ い な
               |    °タ  つ ん
               |        |  も だ
               |       ン  の  `
           __|____
.         /::::::::::::::::::::::::::::::::\____/
      /:::::::::::::::::::::/⌒Y⌒ :::::\
.       /::::::::::::::::: -‐{ u | u ノ- ::::::.      第1式+第2式を (m+μ)で割って、第3式をMで割ったもので引くと、
      /::::::::::::/   ―- (___) -‐ ヽ|
.    |::::::::: /   --―‐   |   ―- |      β-A = - G(M + m+μ)/ (x-R)^2
.    |::::::::::{  \  -―  |   ‐- }|
.      ::::::::::{       . __|__ ノ .      β-Aはx-Rの加速度だから、
      ゚。:::::\    ∠二二二\_/二二ヽ
       (ニニニニ| 数学公式 冂      |   物体1,2の重心座標と地球の相対距離の加速度は全体の質量に比例するね。
        |::::-―ァ'⌒ヽ――┐ |=|   /⌒ヽ
        |:::::::::::: 、_丿   | |=|   、_丿 大事なことは、この結果はTの値によらず、常に成立するということさ。

27/48

          ____
.         /´ /⌒ヽ ⌒ヽ`\
       /   , -|  >|< |-、 ヽ
      / /   `ー ●ー ′  ヽ ヽ     これは、
     l /  .二    |    二  ヽ l
 /⌒ヽ| l l  ─   |   ─  | | |     >紐で結んだ2つの鉄球を1つの101kgの物体と考えれば、100kgの鉄球より加速度は大きくなければいけない
 〉、__ノl |  \      |       ノ   l
 |   ヽヽ   ヽ、   |     /   /`ヽ    に『相当』する結果だね。
 ヽ   ヽ       ̄ ̄ ̄ ̄   /   l
  ヽ    \ _______ /⌒ヽ  ノ
.    〉    `ー──◯──‐ヽ_ノイ
   l    /         \    |

.


1658 : レベルを上げて物理で殴る ◆/jI1AXWoc. : 2020/11/28(土) 23:38:36 ID:mdIDsGPE


28/48
            . ‐─‐-
          / , ⌒Y⌒ヽ ` .        振り返って、物体1,2について、T=0の時(つまりひもが伸び切っていない状態)の式を再掲するね。
        , ' , ィ  ・|・  }    ヽ
.        / メ 、 `ー● ー '` .   ',      m a = -GMm/ (x-R)^2 + 2GMm (r - x)/(x-R)^3
       ┼'┼-`   l  -──ヽ   }
       l' -ヽ─  l   ──‐ァ }. |     μα = -GMμ/ (x-R)^2 - 2GMμ (x - ρ)/(x-R)^3
.        ',  \  |  ──ナ i  ノ
          \   ̄ ̄ ̄ ̄  //      (m+μ)β = -GM (m+μ)/ (x-R)^2
        ⊂ニニΘニニニつ´
       / /     \   `ヽ

29/48
      ______
    / / ̄ヽ ̄ヽ\
   / _|  / |ヽ |_\
  /  /  `ー ● -   ヽ       上の第1式/m-第3式/(m+μ)より、
  | / , 二   |   二、ヽ
  | | | ─    |   ─ ||      (a-β) = + 2GM (r - x)/(x- R)^3 > 0
  ヽヽ .\    |    //
   \ヽ `'ー─┴─‐''" /       上の第3式/(m+μ)-第2式/μより、
    (二二二(〒)二二)
    /  /     \|ヽ        (β-α) = 2GM (x - ρ)/(x-R)^3 > 0

※不等号判定は、R <ρ< x=(m r + μ ρ)/(m + μ) < r より。

30/48
        _____
      /.- 、 -、    \
    / |  ・|・  | -、  \      このことから、α<β< a が得られて、
   // `-● - ′  \   ヽ
   |  三  |   三    ヽ  ヽ    α-A < β-A < a-A < 0 ※
   | (____|____   |   |
   |  \.        /   |   |     だね。
   ヽ  \/ ̄ ̄ ̄ヽ/   / /
   _ ヽ   `───-′  / / _
  (  )ヽ━━( t )━━━ /(  )
   \  /      \   /

※a-Aは物体1(地球から遠いほう)と地球の相対距離r-Rの加速度で、相対距離を小さくするする方向なので、常にマイナス。
β-Aは物体1,2と地球の相対距離x-Rの加速度。
α-Aは物体2(地球から近いほう)と地球の相対距離のρ-R加速度。
この場合、絶対値が大きいほど早く落ちるので、物体2が最も早く落ちる。


1659 : レベルを上げて物理で殴る ◆/jI1AXWoc. : 2020/11/28(土) 23:40:30 ID:mdIDsGPE


31/48

                _,. -=ニニ=、 ̄二ト .
           ,. <: : : :γ´ , -、 V, - 、 ヽ:>.         ガリレオの予想によると、
            /: : : : : : :__{  {  0} |{0  !  }: : : \
        , ': : :-: z__ '´ 八  ゝ ' ∧、__ノ  j⌒丶:..ヘ       >1kgの鉄球と100kgの鉄球では、1kgの鉄球の方が加速度が小さい
.       /: : : :/  ``丶 ー Y::::::::::r‐ ´,. ---へ:ム
       ′: :/____     ゞ __ノ      _V!     となっているけど、質量に関係なく、地球に近い物体のほうが早く落ちるみたいだね。
      |: : :/       `      |    -  ̄   i}
      |: : {       __       |     _     |     例えば、1kgの鉄球が下にあれば、101kgの全体系より早く落ちてしまうね
      Ⅵ:.i  _ -  ̄       レ⌒ヽ   ` ー- ,
       Ⅵ:i                     }       /
.        Vム           ,. -─- __ノ      /
.         {\ヘ、      /::::::::::}: :/       , '
         /\> .     ゝ--- '’     /
.        /: : : :‘ <≧=- _   イ __,.. r '’
        /: : : : : : :∨/ ー- x==x二=- ´∧

※位置関係は、R<ρ< x=(m r + μ ρ)/(m + μ) < r より。

32/48
      ______
    / / ̄ヽ ̄ヽ\         1kgの鉄球が101kgの全体系より早く落ちる理由は、
   / _|  / |ヽ |_\
  /  /  `ー ● -   ヽ       重力を近似して出てきた項- 2GMμ (x - ρ)/(x-R)^3のせいだね。
  | / , 二   |   二、ヽ
  | | | ─    |   ─ ||      この力は重心との距離(x - ρ)に比例しているマイナスの力だから、地球に近いほど重力が大きくなることが分かるね。
  ヽヽ .\    |    //
   \ヽ `'ー─┴─‐''" /       1kgの鉄球のほうが地球の中心に近いので、受ける重力がより大きいことが原因だね。
    (二二二(〒)二二)
    /  /     \|ヽ        重さうんぬんよりも、距離が支配的な要素となってるね。

33/48

      ______
    / / ̄ヽ ̄ヽ\      以上を踏まえて運動の全体像を考えてみるよ。
   / _|  / |ヽ |_\
  /  /  `ー ● -   ヽ    まず、物体1と物体2の間隔は、重力を近似して出てきた項のため、
  | / , 二   |   二、ヽ
  | | | ─    |   ─ ||   時間経過とともに拡大していくと。
  ヽヽ .\    |    //
   \ヽ `'ー─┴─‐''" /    そして、紐の長さだけ間隔が開くと張力によって間隔が変わらなくなる。
    (二二二(〒)二二)
    /  /     \|ヽ    これは、位置関係ρ≦ r が保存されることを示しているね。

※17/46のセットアップを再考せずに済むようです。

34/48

        , ─── 、
    /   /⌒ ⌒ヽ \
   /  , -|  ・|・  |‐、ヽ    重心座標の運動は、紐が伸びきっていようがいまいが関係なく、
  / /   `ー ●ー    ヽ
  l |   三   |  三  |   (m+μ)の質量の物体の落下として記載されるね。
  | l \     |    / l
  ヽヽ   ヽ、 ____|___/ /_
   >━━━,-、━━━ ( _ )
  /  /  ヽフ ヽ   /

.


1660 : レベルを上げて物理で殴る ◆/jI1AXWoc. : 2020/11/28(土) 23:41:18 ID:mdIDsGPE


35/48
                 ______,,,,,,,,,,,,,,,,______
            ,,,,:::::::゙゙゙゙、-‐‐-、:::::: -‐‐-、゙゙゙゙:::::::,,,,
          ,,::"::::::::::::::/    ヽ/    ヽ:::::::::::::"::,,        さて、以上をもとに、ガリレオの議論を見返してみるよ。
         /::::::::::::::::;;;;l    ◎|<    l;;;;::::::::::::::::\
       /:::::::::::: ''"   ヽ.   ,.-‐-、   ノ  "'' ::::::::::::\     >重い物の方が落下の加速度が早いと仮定する
      /::::::::::/  ー-、,,,_   ̄´l::::::::::::l` ̄  _,,,、-‐ \:::::::::ヽ
      i':::::,、-‐-、.     `'''‐- `‐-‐' -‐'''´    ,.-‐-、::::::::i,    >1kgの鉄球と100kgの鉄球では、1kgの鉄球の方が加速度が小さい
      i'::::/      ──-----  |  -----──     ヽ:::::::i,
     i':::::{.     -----‐‐‐‐‐  │  ‐‐‐‐‐-----    }::::::::i   ように思えるけど、実は、重さじゃなくてこの2つの位置関係で変わってしまうんだ。
    .|:::::i ヽ.,         _____,,,,,,,,|,,,,,,,_____         ,ノ i:::::::|
    .|::::|   `'t‐----‐''''''´         `''''''‐---‐t''´  |::::::i   それでは話が進まないので、100kgの鉄球のほうがわずかに下にあり、
     i::::i    i                      i    i::::
     .'i:::i    i                      i    i::::i'    落下速度が速いと仮定しよう。
 , -‐‐- 、::i,    ヽ.                     /   /::i'
/     ヽi,    ヽ   /゙゙゙゙゙゙゙"'‐--‐'"゙゙゙゙゙\  /    /:i
{      } ヽ     \ /             i/    ./'´
ヽ     ノ:::::::\     `''‐-、,,,,,,,,,_______,,,,,,,、-‐'´    /
 `'''''''''t":::::::::::::::::\,,,,__               __,,,,,/
      \::::::::::::::/;,,,,,,,,"""'''''''''''''ゝ‐-、''''''''''''''""",,,,,,,}'
       \::::::/:::::::::::"""'''''''''''''{===}'''''''''''''""":::::::ヽ
        \:::::::::::::::::::/   `ー゙‐"    \:::::::::::::::\


36/48

      ,、='' ̄::::::::::::::: ゙̄'''ヽ、      >そのため1kgの鉄球と100kgの鉄球を紐で結んで落とすと、
    /:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::\
   /:::::_,_、:::::::>‐-、:::::::::::::::::::::::::::::      1kgの鉄球の小さい加速度に引っ張られるために100kgの鉄球の加速度は小さくなる
   /::::/~ヾ,}::::j|  。 }::::::::::::::::::::::::
  l::::/|_ ゚ ,.>ー、ゞー≠ ̄ヽ::::::::::::::      >しかし紐で結んだ2つの鉄球を1つの101kgの物体と考えれば、100kgの鉄球より加速度は大きくなければいけない
  |::/ ヾ≦ヘ,_ノヽ      \:::::
 |Y     l|         ヽ        ように見えるが、101kgの物体とみなした時の物体の加速度は重心系の加速度であり、
 |ノ〆    l|       ー-  |
/| /      l|       ー-  |        重心系より下にある100kgの鉄球は、下にある分だけ重力が強い。
 l / r   」{,        ヽ  |
 l,  ヘ_ _,,>ー=、_   /            その強い分が、1kg分をカバーするだけでなく、重心を101kgで落下させる原動力になるというわけだね。
  ∧   `Σ,,、-‐─゙ゝ=´    /
   ヘ   ===一       ノ
    ∧
     \≧≡=ニー   ノ

.


1661 : レベルを上げて物理で殴る ◆/jI1AXWoc. : 2020/11/28(土) 23:41:55 ID:mdIDsGPE


37/48

                   0       正解だね。
                 //  ヽヽ
          ___               ガリレオの推論には、有限サイズの効果という視点がないので、
       /   /-、    0     0
      /   /(    ヽ _           『場所によって重力が異なる』ようなケースには適用できないのさ。
     /  /⌒ヽ- ノ´ )      0
   ゝl /|   l ヽ ヘ / 0
    l \ \   ノ  /  _      0
     l  \/`ー ´ /ヽ/ /    ,-、、
     \ _(  \ ̄ //  (ヽ/ //)
        `┬ 、二´/   (   _ ⊃
        / \ /\|\  /  /
        |  \  ⊂二二⊃
        ヽ / \ |     |

※そもそも、ガリレオ自身も、『場所によって重力が異なる』ケースを対象にしていたわけではない。

38/48

    __/.:::::::::::::::::::::::::...ヽ
   x`.:::::>-'''''''''''''''ー<.ゝV
   >  fナーヽ ナーヽ∨; i         近似して出てきた力は、重心から物体を引きはがすような方向の力をしているよね。
   \  |l  ・  }{  ・  } }::!!
    `h/ゝ __ ノcゝ __ノ\, 、!         この力は『潮汐力』と呼ばれていて、
      |;{          ヾ ! ノ
     `ヘ   ー-./\  j゙          誤解を懼れずに言うと、潮汐力の寄与の結果ということもできるね。
        ゞ、   ノ  ゞ__
    _ イ }`ー{, ーイf::. ヽ、
    ゝ _、(  ナ´.:.:.:{.:.::. ゝヽ
     ,ヘ´.:.:ヽイ´.:.:.:.:.:i!.:.:.:::.._(
     メ.:.:}.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:}.:.:/ ∨
   /.:.:.:{.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:i∧

※潮汐力はニュートン力学+万有引力で大事な力なんです!

39/48


::::::,イ'¨¨¨¨¨¨¨'''"""'''゙""""""""゙j::::::::::    式を使わず日本語だけで表現するなら、
::::|           _,.. --  、  j::::: :::::
::::| ____    イ   ,_ `ヾ___止--   101kgの重心は、100kgと1kgの重心が同じ位置にあれば、確かに、各々よりも微妙に加速度が大きい
:::::´/    `  xi  ´,イ  ̄ゞソ .|>´∨:
ヘ,| l<´ ̄℡ッ、|≠j|ヾ´ー  ̄´´ . j  ヾ    でも、2つの部分に分かれていると、位置が異なるのでこの比較が成り立たなくなってしまう。
 ト'. メ  ̄ ̄ .jヘ ヽ       メ
 `ヽー―― `∧    -  --     _     より下にあるもののほうが加速度が大きく、
   `∧      !       ┐  j 「
     ヽ、     k    _    /  |    両者にかかる重力の合力をとると、100kgと1kgの間にある重心に

                          101kgの物体が存在するのと同じ重力になるというわけさ。

.


1662 : レベルを上げて物理で殴る ◆/jI1AXWoc. : 2020/11/28(土) 23:42:23 ID:mdIDsGPE


40/48

    _ ,. :ャ≦: ̄ ̄: :≧=-. _
  , <: : : : : : ---- 、: : : : : : :.>x
イ: : : : : : /       \  ,ィ─-、ヽ       所詮、のび太君の問題、
: : : : : : :.,′ γ⌒ヽ   ヘ,イ , -、  ヘヽ
: : : : : :, {   乂zソ    |  (  )   i: ∨    22世紀のロボットには簡単すぎたということさ。
: : /   ヽ、__,. -- 、__,ィ:::::ヽ`_´__  i_: :V
:/ ``ヽ、       八:::::::::::ノ    ̄` ヽ:V
′    `ヽ、       >!'´        __Ⅶ
──- 、            |    ,. ィ'´    !
      ヽ        |    __  i
  i    _         |     _    ̄`!
__, ィ ´ ̄            i       `ヽ、/ i
   ヽ               i         /ヽ,′
     \         i        / /
:、     `ヽ、__      i   _,. イ   , '
ヽ>x_       ──'‐ ' ’     ,ィ
: : \::::::≧--z __       __,. z</
: : : : : >x、__::::::::::::: ̄ ̄ ̄:::〃    ソj
: : : : : : : : : : :,ィ≧------- {   _,.イ'∧
: : : : : : : : : :/        弋==≦´   ノ


41/48

                _. ‐:::::: ̄::::::: 、
   ,.へ         Tア二 ーミ:::::::::::ヾ"
  <:::::::: \.     ,]/  l〃 ̄ヾ、:::::::::マ    簡単だったなら、今度の期末試験に出してみるよ。
   \:::::::::\   ( j! /./! ヽ  .l }〉::::::::!
    \:::::::::\ 〈 `ニと ヽ._ノ¨|=-v′
     厂`寸>、〉. ヾーr―― ァ    :l
    ,' 二/  l    \ 、_/  ,、__ノ
     l ーT´〈    rイ>ヤ ¨チ
    `寸ル '^ヽ- ' |  ヽ_//ヽ
       \     , |     .{   \
         `¨¨¨´ |     ヽ    l


42/48

          _ _ _ _ _ ____
        //   /    |    ̄ ヽ、
      / /  ・ / ・  /ヽ、      \
     // | __ ,,.-'-、  /    \     \
    /     i    i ̄        \    ヽ
    | ──_ `-,-′   _──  ヽ    ヽ
   |  _    /     ̄        ヽ     |
    |  ̄  / ̄ ̄      ̄ ̄──   |      |
    |  / ヽ__     \         |    |
   | /      |       \       |    |
    |        |             |    l
    ヽ.       |             /    /
     ヽ    i ̄             /   /
      \   ヽ             /   /
       |───────────┴─┤
.        ├──-/ ⌒ヽ───────┤
        | /   l===l   \      |

.


1663 : レベルを上げて物理で殴る ◆/jI1AXWoc. : 2020/11/28(土) 23:42:42 ID:mdIDsGPE


43/48

そして、時は流れ、

          _Y_
            r'。∧。y.
         ゝ∨ノ                            ,,,ィf...,,,__
          )~~(                         _,,.∠/゙`'''t-nヾ ̄"'''=ー-.....,,,
         ,i   i,                        ,z'"    ̄ ̄ /n゙゙''''ー--...
         ,i>   <i                   r”^ヽ      く:::::|::|:::〔〕〔〕
         i>   <i.                  入_,..ノ ℃      ̄U ̄_二ニ=
`=.,,ー- ...,,,__  |,r'''"7ヽ、|  __,,,... -ー,,.='             >ーz-,,,...--,‐,‐;;:'''""~
  ~''':x.,,  ~"|{ G ゝG }|"~  ,,z:''"                      ___
      ~"'=| ゝ、.3 _ノ |=''"~      <ー<>         /  l ̄ ̄\
        .|))    ((|        / ̄ ゙̄i;:、      「 ̄ ̄ ̄ ̄| ̄| ̄ ̄ ̄\
             ))|       r'´ ̄「中] ̄`ヾv、   `-◎──────◎一'
                   ├―┤=├―┤ |li:,
         ↑         |「 ̄ |i ̄i|「.//||「ln|:;
                  .    ||//__|L_」||__.||l」u|:;
                   |ニ⊃|  |⊂ニ| || ,|/
                   |_. └ー┘ ._| ||/
                   ヘ 「 ̄ ̄ ̄| /

.


1664 : レベルを上げて物理で殴る ◆/jI1AXWoc. : 2020/11/28(土) 23:43:15 ID:mdIDsGPE


44/48

期末試験後
                   ───  、
           /::::::::::::::::/フヽ _\
         /:::::::::::: ─|/ G| {∠::::',     案の定、全員0点じゃないか
  〃⌒ヽ.   /:::::::::/_\ヽ__ノ⌒ヽノ-ヽ
  {     }   l::::::::/  ──   ヽ__彡∠ |    どうするんだよ、のび太君
   ヽー彡::ヽ |:::::::|  / ̄ ̄\_| ─ ノ!
     \:::::::\::::!. |/⌒⌒ヽ    ̄T´/⌒ヽ
        ヽ:::::::::::::.  \___}__,ノへ_ノ
        \:::::::::::ミ==========≦:::::/

※√0=0なので、どうしようもありません……


45/48

       _____
   /,´- 、 - 、    \
  /,-|./・|・\ |- 、   ヽ     あれ、いないぞ、
  |  ` -● -′  \  i
  |  ─ |  ─     i  |    PCの電源はつけっぱなしなのに・・・・・・・
  |  二  |  二     |  !
  ヽ  / ̄ ̄ ̄ \   |  /
.   \ヽ____)  / /
   ○ ━━6━◯━━ヽ
    \|/ _____\   ヽ

.


1665 : レベルを上げて物理で殴る ◆/jI1AXWoc. : 2020/11/28(土) 23:43:35 ID:mdIDsGPE


46/48

::::::::::::::::::::::   ____,;' ,;- i
::::::::::::::::::   ,;;'"  i i ・i;
:::::::::::::::  ,;'":;;,,,,,, ;!, `'''i;
:::::::::::  ,/'"   '''',,,,''''--i
:::::::::  ;/  .,,,,,,,,,,,,,,,,,   ;i'"`i;         /≡≡≡≡≡≡≡≡≡|
:::::::  i;"     ___,,,,,,,  `i"           |┌─────┐ ⑪ |||
::::::: i;    ,,;'""" `';,,,  "`i        | |ドラえもんが | ◎ |||
::::::: |  ''''''i ,,,,,,,,,,  `'--''''"           | |なんとかして |   .|||
::::::: |.    i'"   ";|                | |くれると思った| |||||||.|||
::::::: |;    `-、.,;''" |            |└─────┘||||||| ||
::::::::  i;     `'-----j            | | ̄|| ̄ ̄ ̄ ̄| | ̄||

.


1666 : レベルを上げて物理で殴る ◆/jI1AXWoc. : 2020/11/28(土) 23:43:46 ID:mdIDsGPE


47/48

::::::::::::::::::::::   ____,;' ,;- i
::::::::::::::::::   ,;;'"  i i ・i;
:::::::::::::::  ,;'":;;,,,,,, ;!, `'''i;
:::::::::::  ,/'"   '''',,,,''''--i
:::::::::  ;/  .,,,,,,,,,,,,,,,,,   ;i'"`i;
:::::::  i;"     ___,,,,,,,  `i"
::::::: i;    ,,;'""" `';,,,  "`i
::::::: |  ''''''i ,,,,,,,,,,  `'--''''"
::::::: |.    i'"   ";|
::::::: |;    `-、.,;''" |
::::::::  i;     `'-----j


おわり


1667 : レベルを上げて物理で殴る ◆/jI1AXWoc. : 2020/11/28(土) 23:43:57 ID:mdIDsGPE

48/48

ドラえもんは何とかしてくれませんので、
レポート点や出席点が大事になるわけです(切実)
大学生のみんな、寝ててもいいから出席しようね。
ほんと、√は偉大です
※本編はフィクションであり、Fラン大学の実態を反映しているわけではありません。





※諸事情により回答に対する返答等はカットさせていただきます。


関連記事
[ 2020/12/01 20:27 ] 語り人総合 読者投稿 | TB(0) | CM(2)



以上の内容はhttps://yaruonichijou.blog.fc2.com/blog-entry-47516.htmlより取得しました。
このページはhttp://font.textar.tv/のウェブフォントを使用してます

不具合報告/要望等はこちらへお願いします。
モバイルやる夫Viewer Ver0.13