https://zellij.hatenablog.com/entry/20130705/p1

フーリエ変換。もう少し正確に書けば、ここでは「フーリエ級数展開」とは、

与えられた関数を三角関数(cos と sin)の足し合わせで表現する

というもの。

この直観的なイメージは下の図で表すことができる。

このように表現することの利点は過去のエントリに書いた。

ここまでの話は、文章を読むだけでも、なんとなく理解できる。

でも、いざ実際の教科書を開いてみると、見慣れない形の数式が出てきて当惑することになる。

今回は、この数式をどのように理解したらよいかを書いてみる。

今、手元にある教科書「理工系の数学入門コースフーリエ解析」に載っている式を取り上げる。
(この本はAmazonのレビューを見て分かる通り、理解しやすい構成で、初学者にはおすすめできる)

さっそく、次の式が登場する。

$\large f(x)=\frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty}(a_n \cos nx + b_n \sin nx)$

この式をどのように理解すればいいのだろうか。

次の記号
$\sum_{n=1}^{\infty}$

は、この後ろの

$(a_n \cos nx + b_n \sin nx)$

をnの値を変化させながら足し合わせることを言っている。

nは1から無限大までの値を取るから、
cos(x), cos(2x), cos(3x), ... のような、いろいろな周波数のcos波を足し合わせて、
さらに
sin(x), sin(2x), sin(3x), ... のような、いろいろな周波数のsin波を足しあわせる。

つまり、最初の式は次のようなことを言っている。

==
関数f(x)は、 $\frac{a_0}{2}$ という何か定数と、様々なcos波とsin波の足し合わせで表現できる
==

様々なcos波とsin波を足し合わせることで、関数f(x)を表現できる。ということだ。

ただし、すべてのcos波、sin波を一様に同じだけ足し合わせるわけではない。

例えば、cos(x)は少し、cos(2x)はたくさん、というように、cos波の種類（周波数）に応じて、足し合わせの割合を調整する。
このような調整によって、任意の関数f(x)を、cos波とsin波の足し合わせで表現できる。

この足し合わせの割合は、式中の $a_n$ と $b_n$ で表されていて、cos(nx)には $a_n$ を掛け算してから、sin(nx)には $b_n$ を掛け算してから、足し合わせることを行う。

例えば、仮に $a_3$ の値が大きいとすると、関数f(x)はcos(3x)の成分をたくさん含んでいる（cos(3x)に似ている）ということを意味して、
仮に $a_5$ の値が小さいとすると、関数f(x)はcos(5x)の成分をほとんど含まない（cos(5x)に似ていない）ということを意味する。

改めて最初の式を見てみると、次のようなことがわかる。

==
関数 f(x) は、様々なcos波とsin波の足し合わせで表現できる。
どれくらいの割合で各周波数のcos波とsin波を足し合わせるかは、数列 $\{a_n\}$ と数列 $\{b_n\}$ で指定する
==

このことはつまり、

==
数列 $\{a_n\}$ と数列 $\{b_n\}$ によって、関数f(x)を表現できる
==

ということに他ならない。

この数列 $\{a_n\}$ と数列 $\{b_n\}$ は、関数f(x)が、どのような形をしているかに依存して、当然異なる数列となる。
では、この数列はどのように決定されるのだろうか。