この項目「三次曲線」は翻訳されたばかりのものです。不自然あるいは曖昧な表現などが含まれる可能性があり、このままでは読みづらいかもしれません。（原文：英語版"Cubic plane curve" 20:33, 17 February 2024） 修正、加筆に協力し、現在の表現をより自然な表現にして下さる方を求めています。ノートページや履歴も参照してください。（2024年6月）

数学において、三次曲線（さんじきょくせん、英: cubic）、特にユークリッド幾何学における平面三次曲線（英: cubic plane curve）は以下のような三次方程式によって定義される代数曲線である。

${\displaystyle F(x,y,z)=0}$

三次曲線には特異点を持つものもあり、射影直線におけるパラメトリック方程式となる。一方、 特異点を持たない三次曲線は複素数のような代数的閉体上に9つの変曲点を持つ^[1]。これは、三次曲線を再定義するヘッセ行列の同次座標をCと掛け合わせることにより示すことができる（ベズーの定理）。しかし、これらの点のうちは実射影平面上にあるのは3点だけであり^[2]、他の点は実射影平面上で曲線を描いても見ることはできない。特異点を持たない三次曲線の9つの変曲点は、そのうちの2つを通るすべての直線がちょうど3つの変曲点を含むという性質を持っている。

実射影平面上にある変曲点はニュートンによって研究され、非特異な三次曲線の実点が1つか2つの「オーバル」を通ることが発見された。 これらのオーバルのうちの1つは、すべて射影直線を横切るので、ユークリッド平面に描いたときには見ることができず、3つの実変曲点を含む、1本または3本の無限の分岐として現れる。もう1つのオーバルは、存在するとしても変曲点を含まず、オーバルか2つの無限の分岐のように見える。 円錐曲線の断面の様に直線はオーバルを最大2点で切断する。

非特異な三次曲線はK上の楕円曲線でもある。楕円曲線は普通、ワイエルシュトラスの楕円関数を変形したもので研究されており、三次関数の平方根で作られた有理関数上で定義されている。これはワイエルシュトラス標準形の無限遠点としてはたらくK-有理点に依存する。Kが有理数体のとき多くの三次曲線はそのような点を持たない。

尖点や二重点など、特異的な三次曲線の特異点は限られている。 そのような3次曲線は、2次曲線と直線、または3つの直線に退化する。したがって2次曲線と直線の場合は、2つのニ重点または二重尖点（英語版）、3つの直線の場合はまたは3つのニ重点か1つの三重点（共点）を持つ。

三角形の三次曲線

△ABCの辺について ${\displaystyle a=|BC|,}$

三線座標: ${\displaystyle \sum _{\text{cyclic}}(\cos {A}-2\cos {B}\cos {C})x(y^{2}-z^{2})=0}$

三線座標: ${\displaystyle \sum _{\text{cyclic}}bcx(y^{2}-z^{2})=0}$

三線座標: ${\displaystyle \sum _{\text{cyclic}}(\cos {A}-\cos {B}\cos {C})x(y^{2}-z^{2})=0}$

三線座標: ${\displaystyle \sum _{\text{cyclic}}\cos(A)x(b^{2}y^{2}-c^{2}z^{2})=0}$

三線座標: ${\displaystyle \sum _{\text{cyclic}}bc(a^{4}-b^{2}c^{2})x(y^{2}+z^{2})=0}$

三線座標: ${\displaystyle \sum _{\text{cyclic}}a(b^{2}-c^{2})x(y^{2}-z^{2})=0}$