注意:

• これにより、範囲 (−π, π] の結果が生成される。^{[注釈 3]}
• 上記のように、偏角の主値 atan2(y, x) は、三角法によって arctan(y/x) に関連付けることができる。 導出は次のようになる:

(x, y) = (r cos θ, r sin θ) のとき tan(θ/2) = y / (r + x) となる。その結果、次式が成立する。

${\displaystyle {\text{atan2}}(y,x)=\theta =2\,\theta /2=2\arctan {\frac {y}{{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}+x}}.}$

この図は、ある半直線に沿ったatan2の値を単位円上に示している。atan2の値はラジアンであり、単位円内に記載されている。標準的な数学の方式に従い、角度は右方向の半直線をゼロとして反時計回りに増加する。ここで、2つの引数の順序が座標と比べて入れ替わっていることに注意が必要である。すなわち、関数atan2(y, x)は座標(x, y)に対応する角度を計算する。

この図は ${\displaystyle \arctan(\tan(\theta ))}$

加法定理

→詳細は「三角関数の公式の一覧 § 加法定理」を参照

${\displaystyle \operatorname {atan2} }$

原文と比べた結果、この節には多数の（または内容の大部分に影響ある）誤訳があることが判明しています。情報の利用には注意してください。 正確な表現に改訳できる方を求めています。 (2023年12月)

atan2の実装はプログラミング言語ごとに異なる。

• Microsoft Excel^[8]、OpenOffice.org Calc、LibreOffice Calc^[9]、Google Spreadsheets,^[10] iWork Numbers^[11]、およびANSI SQL:2008 standard^[12]では、2つの引数をもつatan2関数はそのままの順序の引数 ${\displaystyle (\operatorname {Re} ,\operatorname {Im} )}$で定義されている （引数の関係の入れ替わりについては § 図による可視化を参照）。
• MathematicaではArcTan[x, y]の形式が用いられ、引数が一つの場合は通常のアークタンジェントになる。MathematicaではArcTan[0, 0]は不定となる。

入れ替わった順序の引数 ${\displaystyle (\operatorname {Im} ,\operatorname {Re} )}$は下記で用いられている：

• C言語のatan2関数を始めとする多くのプログラミング言語では、直交座標系から極座標系への変換の手間を減らすため、引数は入れ替わったものが使われており、atan2(0, 0)も定義されている。実装においては−0を除外している、あるいは+0が引数に指定された場合には単純にゼロと定義している。関数は常に[−π, π]の間の値を返し、エラーやNaN (Not a Number)を返すことはしない。
• Common Lispでは引数の数は可変なので、atan関数は1つの場合とx座標を付加した(atan y x)が定義されている。^[13]
• Juliaでは、Common Lispと状況が似ており、atan2の代わりに、1引数形式と2引数形式のatanを持っている^[14]。しかし、コンパイル時のアグレッシブな最適化を可能にするため、Juliaはこの2つ以外にも多数のメソッドを持っている^{[15][注釈 4]}。
• Intelアーキテクチャのx87命令では、 atan2はFPATAN (floating-point partial arctangent) 命令で実装される。^[16]この命令は無限大を扱うことができ、結果は閉区間[−π, π]の値となる。例えば、有限のxに対し、atan2(∞, x) = +π/2となる。特に両方の引数がゼロである時、FPATANは下記のようになる：

  atan2(+0, +0) = +0;

  atan2(+0, −0) = +π;

  atan2(−0, +0) = −0;

  atan2(−0, −0) = −π.

この定義は-0の定義に従ったものとなる。

• コード以外での学術論文などの数学的表記では、通常の arctanおよびtan⁻¹の最初の1文字を大文字にしたArctan^[17]およびTan^−1[18]が用いられる。用法は複素数の偏角と同様で、Atan(y, x) = Arg(x + i y)となる。
• シンボリック算術をサポートする実装系では通常、atan2(0, 0) は不定値あるいはエラーを返す。
• -0、無限大やNaNをサポートする実装系（例：IEEE 754）では、−π and −0を含む値を返すように拡張されている場合がある。これら実装系では、NaNが入力された時にNaNあるいは例外を返すよう実装されていることも多い。
• -0をサポートする実装系（例：IEEE 754）では、atan2(y, x)の実装が−0の入力を的確に処理できない場合、atan2(−0, x), x < 0 の時に−πを返すリスクがある。
• netlibで公開されているフリーの算術ライブラリであるFDLIBM (Freely Distributable LIBM)では、atan2のソースコードが公開されており、IEEEの例外値の対処方法を確認することができる。
• ハードウェアによる乗算器を持たない実装系では、atan2関数はCORDIC（英語版）による数値的に十分な近似により実装されている。よってatan(y)の実装もatan2(y, 1)の実装を用いている場合がある。

関連項目

• hypot（英語版）

脚注

[脚注の使い方]

注釈

1. ^ 「位相」とも言う。
2. ^ 従って

   ${\displaystyle {\text{undefined}}\cdot 0=0,}$

   ${\displaystyle {\text{undefined}}\cdot 1={\text{undefined}}}$   および、

   ${\displaystyle z+{\text{undefined}}={\text{undefined}}}$   （全ての ${\displaystyle z.}$に対し）

3. ^ 結果の周期性を適用して、別の目的の範囲に写像できる。e.g. 負の結果に 2π を加算すると [0, 2π) に写像できる。
4. ^ "Why don't you compile Matlab/Python/R/… code to Julia?" のセクションを参照のこと。

出典

1. ^ http://scipp.ucsc.edu/~haber/ph116A/arg_11.pdf
2. ^ Organick, Elliott I. (1966). A FORTRAN IV Primer. Addison-Wesley. pp. 42. "Some processors also offer the library function called ATAN2, a function of two arguments (opposite and adjacent)." 
3. ^ Math.Atan2(Double, Double) Method (System) | Microsoft Learn
4. ^ “src/math/atan2.go”. The Go Programming Language. 2018年4月20日閲覧。
5. ^ “Wolf Jung: Mandel, software for complex dynamics”. www.mndynamics.com. 2018年4月20日閲覧。
6. ^ Wind Direction Quick Reference, NCAR UCAR Earth Observing Laboratory. https://www.eol.ucar.edu/content/wind-direction-quick-reference
7. ^ Zhang, Taiping; Stackhouse, Paul W.; MacPherson, Bradley; Mikovitz, J. Colleen (2021). “A solar azimuth formula that renders circumstantial treatment unnecessary without compromising mathematical rigor: Mathematical setup, application and extension of a formula based on the subsolar point and atan2 function”. Renewable Energy 172: 1333–1340. doi:10.1016/j.renene.2021.03.047. 
8. ^ “Microsoft Excel Atan2 Method”. Microsoft. 2022年1月9日閲覧。
9. ^ “LibreOffice Calc ATAN2”. Libreoffice.org. 2022年1月9日閲覧。
10. ^ “Functions and formulas – Docs Editors Help”. support.google.com. 2022年1月9日閲覧。
11. ^ “Numbers' Trigonometric Function List”. Apple. 2022年1月9日閲覧。
12. ^ “ANSI SQL:2008 standard”. Teradata. 2015年8月20日時点のオリジナルよりアーカイブ。2022年1月9日閲覧。
13. ^ “CLHS: Function ASIN, ACOS, ATAN”. LispWorks. 2022年1月9日閲覧。
14. ^ “Mathematics · The Julia Language”. docs.julialang.org. 2022年1月9日閲覧。
15. ^ “Frequently Asked Questions · The Julia Language”. docs.julialang.org. 2022年1月9日閲覧。
16. ^ IA-32 Intel Architecture Software Developer’s Manual. Volume 2A: Instruction Set Reference, A-M, 2004.
17. ^ Burger, Wilhelm; Burge, Mark J. (7 July 2010). Principles of Digital Image Processing: Fundamental Techniques. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-84800-191-6. https://books.google.com/books?id=2LIMMD9FVXkC&q=four+quadrant+inverse+tangent+mathematical+notation&pg=PA234 2018年4月20日閲覧。 
18. ^ Glisson, Tildon H. (18 February 2011). Introduction to Circuit Analysis and Design. Springer Science & Business Media. ISBN 9789048194438. https://books.google.com/books?id=7nNjaH9B0_0C&q=four+quadrant+inverse+tangent+mathematical+notation&pg=PA345 2018年4月20日閲覧。 

外部リンク

• ATAN2 Online calculator
• atan2 at Everything2
• PicBasic Pro solution atan2 for a PIC18F

その他のatan2の実装・コード

• Bearing Between Two Points
• Arctan and Polar Coordinates
• What's 'Arccos'?