dispose はまとめ甲斐のある単語です。大きく分けて２系統の意味があります。
まず成り立ちとしてdis（離して）＋pose（置く）であることを確認します。dis には否定の意味もあるのですが「離れて」の意味もあります。distance「距離」の dis ですね。「離す」ということは「拒否する」ことでもあり，「拒否」とはある意味「否定」ですから繋がっているのでしょう。
（１）（「離して置く」→）「処分する」
dispose of N「Nを処分する」は重要です。ゴミとして廃棄するの意味にも，要らないものを売却するの意味にもなります。また do away with N と同様「殺す」の隠語でもあります。「あいつは俺が片付ける」と言えば意味は分かりますね。
この名詞形は disposal「処分」です。at one's disposal は「one が自由に使えて（処分できて）」という意味です。
This is at your disposal. と言えば，「これはあなたが自由に使って（処分して）良いものです」の意味です。また，
I am at your disposal. と言えば，「私をご自由にお使い下さい（何なりとお命じ下さい）」という意味です。ドラゴンエイジ：インクイジションでは (I'm) at your service.「何なりとお命じ下さい」という台詞を聞きました。
形容詞形として disposable「使い捨ての，処分できる」があります。disposable mask [cup] は「使い捨てマスク［コップ］」，disposable income は「可処分所得」です。
（２）（「離して置く」→）「配置する」
dispose のもう１つの重要な意味は「配置する」です。特に重要なのが「配置する」が心の配置に拡張され，be disposed to-V で「V したい気持ちである」「V する気質である」です。
disposition は「配置」→「気質，性格」「処分（=disposal）」です。
否定語 indisposition の場合は disposition が「気分」のような意味になり，「気分がすぐれないこと，気が進まないこと」の意味です。
ということで dispose 系の単語は「処分」「（心の配置→）気質・気分」というキーワードで覚えておきましょう。
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