記事の内容
大学数学を本格的に学びたい。
数学の楽しさをより深く感じたい。
そんな人におすすめなのが、志賀浩二という数学者の書籍です。なかでも、「30講シリーズ」は有名かつ人気です。
この記事では、私が所持している志賀浩二の本をまとめます。読書メモも継続的に追加し、内容の整理を楽しみたいです。
数学に興味のある誰かの役に立てれば嬉しいです。それでは目次をご覧ください。
この記事では、Amazonアソシエイトリンクを使用しています。
30講シリーズ
志賀浩二の本は本当にわかりやすく、素敵。
数学がもっと好きになる。
最近、30講シリーズがリニューアルされた。私の手元にあるのは全て旧版だ。新版の方が手に入れやすいと思うので、新版へのリンクを紹介します。
※微分積分30講だけ持っていないので、紹介していません笑
線形代数30講
集合への30講
位相への30講
解析入門30講
複素数30講
ベクトル解析30講
テンソル代数から外積代数へ。
そして、外積代数の上に微分形式を導入する。
座標変換で不変であるような数学的対象へ。
多様体への入門。
- グリーンの公式には、「座標変換で不変な形」が込められている。
- dxとdyを基底とするベクトル空間
- 外微分とグリーンの公式の表現の類似性。微分形式の積分を定義する。
- グリーンの公式は、向きを保つ座標変換によって不変である。
微分形式という考えの最も重要な点は、座標変換で不変であるような微積分の定理を、どのように定式化し、どのように証明するかの道を示してくれることにある。ベクトルとは、もともと座標変換で不変な量であったから、座標変換に関する不変性に深くかかわる微分形式は，ベクトル解析の中心におかれるのである。
一般に、関数を微分するとき、変数をとりかえて微分すると、異なった結果が得られる。それは変数変換の公式が示す通りであって，微分という演算は変数のとり方に本質的によっている。その点を，ベクトル解析の立場から取り扱いやすいようにするためには、微分が変数のとり方によらないような新しい形式を導入することが必要であった。微分形式は、この目的に適う1つの表現形式であって、この表現によって，外徴分という，座標変換で不変な微分演算が明確に定式化されたのである。
p153
群論への30講
ルベーグ積分30講
固有値問題30講
志賀浩二 その他
その他専門書から一般向け読み物まで。
無限への飛翔
線形という構造へ
関数解析の入り口、気持ち。
無限のなかの数学
一般向け読み物としてとてもおすすめ。
確率論をめぐって
現代数学への招待 多様体とは何か
多様体とは、簡単にいえば、空間に拡がっていく近さの場に、さらに各点に微分の概念から生ずる深さを付与して得られる場である。近さと深さとが相互に関連しながら、局所的から大域的へと拡がっていく様相の中に，私たちのもつほとんどすべての数学的直観が、ある姿をとって実現され、そしてその上で現代数学が多彩な展開をしていくことになる.
位相多様体という母胎は、いま述べたような、全然異なった宇宙にいるような、いくつもの滑らかな多様体を生む力はあるのだろうか.
もう少し数学的に表現すれば、与えられた位相多様体上に、本質的に異なる微分構造が、いくつ入り得るかということになるだろう．
p213
うめこみ写像のとり方はたくさんあるから、このように1つの多様体をユークリッド空間の中に現わした姿もまた多様なものとなっており，これらのさまざまな像は、互いに微分同相写像で移りあっている。 1つの特定の姿は定まらず、このように多くの実現の仕方があるという点に，むしろ多様体の本性が現われていると考えられる。したがって、定理1からの結論として、多様体はユークリッド空間の曲面であるといいきってしまうことは、あまり適当ではないのである。多様体は多くの実現の仕方を許す母胎として存在している。
p241
定理
k次元の多様体は、2k+1次元のユークリッド空間の中にうめこむことができる。また、2k次元のユークリッド空間の中にはめこむことができる
k次元の多様体を最小でどれくらいの次元のユークリッド空間にうめこみできるかどうかは、次元によって様子が変わる。次元の不思議さが現れている。
接束と余接束
接束，余接束の構成法を抽象化していけば、このようにして，ベクトル束，ファイバー束への一般論へ進むことになってくる。それは多様体を学ぶ者にとって必須のコースであろうが、ここではそこまで触れるつもりはない。
私がここで特に強調しておきたいことは，接束と余接束にみられる構成法の形式的な類似よりは、むしろ、この2つの束の構成を必要とした本質的な理由の類似点である。
接束は、微分するという概念、または微分する方向という概念を多様体上にどのように定式化したらよいかという問題から、必然的に生まれてきた。一方、余接束は、各局所座標で定義されている偏導関数から、多様体全体で、意味のある”全微分”の概念を導入する必然性から生まれてきた。
p289
多様体は、局所座標による、ユークリッド空間上への、表現の海に漂っている。p290
多様体の内蔵する性質の深さは、表現の複雑さを誘い、それは、表現を'表現する場'の次元を高めていくことにより、高次元のもつ多様さの中に吸収され、簡明化された形で定式化されてくる
p291
多様体全体は、いわば、常に表現の世界の中で生きている。表現するものと、表現されるものとが、相互にかかわり合って、はたらき合いながら、現代数学をしだいしだいに、予想もしなかったような深い世界へと導いていく
p295
接ベクトル
「どの局所座標をとって微分して値を求めてみても、結局いつも同じ値であるというような状況を設定することができるならば、それは、多様体X上での、点xにおける微分に相当する概念を与えていると考えてもよいことになるだろう。」
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