記事の内容
この記事では、「大学数学」を楽しむための本を紹介します。
私自身、一般的な読み物から、大学数学入門まで幅広く学びを楽しんでいます。それら本をこの記事で整理し、誰かの役に立つようにまとめておきたい、というのが記事の狙いです。
数学、本当に面白く奥深いですよね。自分のペースでゆったり歩んでいきたいものです。
それでは目次をご覧ください。
- 記事の内容
- このブログ全体のガイドラインはこちらへ
- 大学数学入門
- 「集合と位相」をなぜ学ぶのか
- 集合・写像・論理
- 手を動かして学ぶ集合と位相
- 「無限と連続」の数学
- 集合と位相 そのまま使える答えの書き方
- 集合・論理と位相
- 現代数学概論 赤攝也
- 大学数学の教則
- 数学基礎論 前原昭二、竹内外史
- 地力をつける 微分と積分
- 測度の考え方
- 微分積分 キャンパスゼミ
- 物理数学の直感的方法
- 群論への第一歩
- 複素関数論の基礎
- 意味がわかる線形代数
- はじめての線型代数
- 線形代数入門講義
- チャート式 大学教養 線形代数
- プログラミングのための線形代数
- なるほどとわかる線形代数
- テンソル代数と表現論
- 線形代数と群の表現 Ⅰ
- 線型代数学周遊 松谷茂樹
- 具体例から学ぶ多様体
- トポロジーへの誘い
- 入門 情報幾何 統計的モデルをひもとく微分幾何学
- 幾何学は微分しないと
- 数学の一般向け本
- 数学ガール
- 志賀浩二
- 村上雅人 なるほどシリーズ
- 数学の哲学
- 数理論理学、数学基礎論、計算理論についてはこちらへ
- 圏論についてはこちらへ
- 関連記事
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大学数学入門
「集合と位相」をなぜ学ぶのか
第1章 フーリエ級数と「任意の関数」
第2章 積分の再定義
第3章 実数直線と点集合
第4章 平面と直線は同じ大きさ？
第5章 やっぱり平面と直線は違う
第6章 ボレルの測度とルベーグの積分
第7章 集合と位相はこうして数学の共通語になった
集合・写像・論理
初学者にはとても親切な一冊。
手を動かして学ぶ集合と位相
1．集合
2．写像と二項関係
3．濃度と選択公理
4．ユークリッド空間
5．距離空間（その1）
6．位相空間
7．連結性とコンパクト性
8．距離空間（その2）
9．分離公理とコンパクト性の一般化
演習しよう。
「無限と連続」の数学
「ロルの定理」は最大値の存在定理を使って証明されるが
「最大値の存在」は数学的にはどう証明すればいいのか
本書は微分積分学の基礎理論を見つめ、その基盤となる位相空間論の入り口まで読者を誘う。
イメージだけでも理論だけでも理解しづらい難関を、著者ならではのユニークな構成にしたがって、
一つ一つじっくり解説する。
もくじ
第1章 ロルの定理を見直す
第2章 実数の連続性ということ
第3章 数列の極限と四則演算
第4章 関数の連続性について
第5章 関数の一様連続性と積分の存在
第6章 位相空間と連続写像
集合と位相 そのまま使える答えの書き方
演習としておすすめ。
集合・論理と位相
数学基礎論の専門家による本。よって、一歩深い。
現代数学概論 赤攝也
大学数学の教則
高校までの数学は、問題が与えられ、定義を憶え、定理やその証明を使いこなしながら解いてゆくもので、しかも与えられた問題には必ず「正解」がある。これに対して大学では、与えられた問題を解くのではなく、「問題がどのように作られたのか」、「問題をどのように作るのか」という点に目を向けることが重要とされている。この大きな断絶を埋めるべく本書は誕生した。数学の教科書は著者によるひとつのストーリーが書かれたもので、けっしてその記述を鵜呑みにしてはいけない。数学の真の喜びは、自分自身の教科書を「再構成」したときにはじめて、「新発見」というかたちでやってくる。書き下ろし「解答」を付した大幅増補版。
数学基礎論 前原昭二、竹内外史
地力をつける 微分と積分
測度の考え方
測度の考え方 ～測り測られることの数学～ 知の扉 | 原 啓介 | 数学 | Kindleストア | Amazon
第1章 長さ，面積，体積の昔
1.1 測るということ
1.2 どんな形でも測れるのか？
1.3 円の面積はなぜπr^2 か
1.4 アルキメデスのとりつくし法
1.5 錐体の体積はなぜ柱体の1/3 か
第2章 測り，測られることの数学的基礎1－集合
2.1 始まりはいつも集合
2.2 「図形」を集合と見るには
第3章 測り，測られることの数学的基礎2－実数と写像
3.1 測る「量」としての実数
3.2 写像
［第2部 具体から抽象へ－カラテオドリの条件のパズルとルベーグ測度］
第4章 基本図形で覆って測る：外測度の考え方
4.1 外測度の考え方
4.2 外測度の性質
第5章 ルベーグ測度
5.1 カラテオドリの条件とルベーグ可測集合
5.2 ルベーグ測度
［第3部 抽象から具体へ－測り測られることの本質を抜き出す］
第6章 定義で始める測度論
6.1 測られるものたち（σ-加法族）と測るもの（測度）の定義
6.2 σ-加法族の簡単な例
6.3 測度の簡単な例
第7章 そして定義から性質を導く
7.1 σ-加法族の性質を定義から導く
7.2 測度の性質を定義から導く
第8章 測度の構成という問題
8.1 σ-加法族の構成
8.2 前測度から測度へ
［第4部 積分を再発明する̶ ルベーグ積分の世界］
第9章 ルベーグ積分
9.1 リーマン積分からルベーグ積分へ
9.2 ルベーグ積分の構成
第10章 ルベーグ積分の御利益の色々
10.1 収束定理の色々
10.2 フビニの定理
10.3 微分との関係
測度論をちゃんとやるなら最も読みやすい入門書では！！
微分積分 キャンパスゼミ
物理数学の直感的方法
群論への第一歩
大学数学の基礎としておすすめ。集合、写像を群論という代数演算を通して学べます。群論入門にもぴったりですし、数学的な考え方を吸収できる一冊です。
複素関数論の基礎
0．複素関数論のための実関数論
1．複素数とは何か
2．複素関数
3．複素関数の微分
4．複素関数の積分
5．級数展開と留数
意味がわかる線形代数
まずはこの一冊から 意味がわかる線形代数 (BERET SCIENCE) | 石井俊全 | 数学 | Kindleストア | Amazon
はじめての線型代数
第0章 線型代数への最初の一歩――ベクトルという概念の現代的な起源
第1章 ベクトルという線型代数の基本概念
第2章 ベクトルの線型結合と線型空間
第3章 高校のベクトルと線型代数
第4章 ベクトルと計量
第5章 行列とは何か
第6章 連立1次方程式
第7章 線型変換と行列
第8章 行列式
第9章 固有値，固有ベクトル，固有空間
第10章 高次元空間の中でも意外に難しい3次元空間
初学者が引っかかるところに注目している。親切設計。
線形代数入門講義
チャート式 大学教養 線形代数
演習しよう。
プログラミングのための線形代数
イメージ、本質先行で読みやすい。さすが、長年おすすめされる本だけある。
なるほどとわかる線形代数
隠れた名著。
後半、駆け足なのが惜しい。
ただし、今や絶版かも？
テンソル代数と表現論
第1章 広義固有空間
第2章 ジョルダン標準形
第3章 行列の指数関数とその応用
第4章 テンソル代数
第5章 群の表現論、主に有限群の場合
第6章 対称群の表現
第7章 シューア・ワイル双対性
第8章 対称群と一般線型群の既約指標
第9章 リー環の表現論入門
線形代数と群の表現 Ⅰ
線型代数学周遊 松谷茂樹
具体例から学ぶ多様体
タイトル通り、簡単な具体例の計算から始めてくれる。やりやすい。
トポロジーへの誘い
入門 情報幾何 統計的モデルをひもとく微分幾何学
●目次
第1章 確率関数からなる統計的モデル
1.1 ユークリッド空間
1.2 統計的モデル（その1）
1.3 期待値と分散
1.4 十分統計量
第2章 フィッシャー計量
2.1 リーマン計量
2.2 写像の微分
2.3 マルコフはめ込み
2.4 チェンツォフの定理（その1）
2.5 フィッシャー計量と単調性，不変性
2.6 チェンツォフの定理（その2）
第3章 α-接続
3.1 測地線
3.2 ベクトル場
3.3 レビ-チビタ接続
3.4 アファイン接続とα-接続
3.5 曲率とe-接続，m-接続
第4章 確率密度関数からなる統計的モデル
4.1 測度空間
4.2 可測関数と積分
4.3 統計的モデル（その2）
4.4 フィッシャー計量とα-接続
第5章 統計多様体
5.1 距離空間と位相空間
5.2 連続写像とハウスドルフ空間
5.3 多様体
5.4 接ベクトルと写像の微分
5.5 ベクトル場とアファイン接続
5.6 双対接続と統計多様体
第6章 指数型および混合型分布族
6.1 部分多様体
6.2 誘導接続と平行移動
6.3 自己平行部分多様体（その1）
6.4 可積分条件
6.5 平坦アファイン接続
6.6 自己平行部分多様体（その2）
第7章 双対平坦空間
7.1 双対平坦空間の定義
7.2 ダイバージェンス
7.3 クラメル-ラオの不等式
幾何学は微分しないと
多様体とは、整合性のある座標変換をもつ局所座標のシステムのことである。p132
多様体では、接ベクトルは抽象化される。一種の写像、具体的に言えば、関数に対する微分作用である。微分作用の全体は線型空間となり、基底を考えられる。
数学の一般向け本
こちらの記事でまとめています。
数学ガール
本格数学を最大限わかりやすく楽しむと言ったら数学ガール。
詳細はこちらの記事で紹介しています。
志賀浩二
志賀浩二の本は本当にわかりやすく、素敵。数学がもっと好きになる。
最近、30講シリーズがリニューアルされましたね。
詳細はこちらへ。
村上雅人 なるほどシリーズ
このシリーズは、とにかく数式展開が分かりやすい。省略が少ないので、スラスラ読めてしまうのがすごい。工学部なら最適な一冊かも。
なるほど微積分
![なるほど微積分 [書籍]](https://www.kinokuniya.co.jp/images/goods/ar2/web/imgdata2/large/48752/4875252005.jpg)
なるほど線形代数
なるほど複素関数
なるほどフーリエ解析
![なるほどフーリエ解析 [書籍]](https://www.kinokuniya.co.jp/images/goods/ar2/web/imgdata2/large/48752/487525203X.jpg)
なるほどベクトル解析
数学の哲学
数学の哲学もとても好きです。
数学は人間による発明なのでしょうか？それとも発見なのでしょうか？
数学を哲学する
＜現実＞とは何か
超面白い。
圏論と哲学の交差。
無限論の教室
面白い！！さすが野矢茂樹。
心はすべて数学である
心はどこで、どうして生まれるのか?
無限、カオス、ゲーデルの不完全性定理。「不可能問題」に取り組む古今の数学者らの純粋な姿が、著者に確信的インスピレーションを与えた。「数学は心だ」。共通難問を追究する人類の数学的営みが脳を発達させ、記憶、思考・推論、感覚・知覚といった心の働きを生む。諸研究を用いて語られる「心」と「脳」の関係は、固いアタマに風穴を開けてくれる。世界最先端の数学者による思索の書。
独創的。刺激的。
数理と哲学
〈重ね合わせ〉の思考のために
重ね合わせ。概念と概念の。また理論と理論の。さらには科学と哲学の。それは、あるものを別のものの上に層状に重ねることも含むが、重ねることでそれぞれが入り込み、浸透し合うこともある。重ね合わせとはまずもってこうした重ねる働きを意味するが、またある状態のことでもある。二としての一。差異。畳長性。ある時代と別の時代の重なりが生み出す緊張。近代的自我でありつつも同時にそれとは異なった何かであること。そして、あるものから別のものへと成りつつある様。———哲学者カヴァイエスの数理哲学を軸に展開される、現代思想の粋！
数学者の哲学+哲学者の数学―歴史を通じ現代を生きる思索
◎生きる思索としての学問
古代ギリシャにおいてほぼ同時期に成立した数学と哲学.
今日ではその歴史すら忘れ去られるほど両者は掛け離れて見えているが,
《実用的な解決では満足せずに,根源的な思索をこそ重視する》という点で,
実用性,利便性が支配的な価値観となっている現代においては,なお一層,
隠れた親近性のある世界である.
数学なくしてはあまりに脆い(もろい).
哲学なくしてはあまりに蒙い(くらい).
数学者と哲学者の緊張ある対話の中に,現代人が見失いがちな知と魂の火花がある.
生きる思索としての学問がある.
無限と連続 哲学的実数論
20世紀数学思想
近代学問の女王たる数学は20世紀に未曾有の変容と発展を遂げた。
その全容を掌握するのは専門分化のゆえに極度に困難であろう。
しかし、その思想的・社会的な枢要な働きのゆえに、その概要はなんらかの形で理解しておかねばならない。
本書は、まず19世紀数学の延長上で、現代数学がいかなる形態をとるようになったか概観する。
そのうえで、現代数学の認識論的理解の試みとして数学基礎論論争に焦点をあて、
その論争からいかなる経緯でゲーデルの不完全性定理が着想され、またウィトゲンシュタインらの
多元主義的数学観が定着していったのかを跡づける。さらに、現象学的な哲学的背景のもとで、
ワイルの数学思想がいかに生成・発展を遂げたかをたどり、20世紀の最も深い数学の根底をかいま見る。
今度は認識論的考察から一転して社会史的方向に眼を向け、今日の「パックス・アメリカーナ」政治体制を
形づくった1940年代以降のフォン・ノイマンの数学研究の足跡を追い、原爆・水爆などの軍事技術と
コンピューターがいかに交錯しながら発展したのかを探究する。
現代の思想と社会に先鋭に切り込もうと数学史家が渾身の力を込めて成った力作。
千夜千冊エディション 数学的
数学の認知科学
とてもおすすめ。
これも現在は絶版かも。
数学の基礎を認知科学から。こちらへ。
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