https://www.buchinuku.work/entry/2019/12/3

「自然科学の言語は数学である」

このような標語を知っているでしょうか。

あらゆる自然科学の法則は数学を使って表現されます。

では、自然のしくみを説明するために、なぜ数学はこれほど効果的なのでしょう。

今回は、こうした疑問を感じたことがある人にピッタリの本を紹介します。

『神は数学者か？数学の不可思議な歴史』という本です。

人間の純粋な思考の産物であるはずの数学。
その数学がなぜ、宇宙構造や自然現象、遺伝の法則、株価の挙動など、
現実の世界を説明するのにこれほどまでに役に立つのか?
創造主は数学をもとにこの世界を創ったのか?
ピタゴラスの定理から非ユークリッド幾何学、結び目理論まで数学の発展の歴史を追いながら、
アインシュタインをも悩ませた「数学の不条理な有効性」の謎に迫るポピュラー・サイエンス。

本書は、「数学は発見なのか、発明なのか」という視点を軸に立てます。この問いの答えを見つけるべく、数学の性質、歴史、心理を掘り下げていきます。数学と人間との関係、数学と自然との関係などなど、とても深く刺激的な本です。

この記事では本書の一部を要約します。

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二つの立場　数学は発見か、発明か？

「数学の不条理な有効性」

物理理論における数学の驚異的な成果のことだ。
- 観測結果をどんでもない制度で数学理論から導ける。
- 純粋な数学理論が、後になって物理学の文脈で大成功する

これらを踏まえると、宇宙=数学だからだ、と考えたくなる。それ以外に、うまい説明はあるのだろうか？

世界が数学に支配されているように見える、そして、数学で分析できるのはなぜでしょう。

この問いに対して、本書は、「数学は発明なのか、発見なのか」というイシューを立てて分析する。

数学は発見であるという立場
- 数学は人間の存在、心とは独立に存在する。だらか、我々はそれを発見できる。
- 抽象的な数学世界があらかじめ存在している。
数学は人間による発明であるという立場
- 人間によって歴史的に作られてきたのが数学である。
- 数学は人間の日常体験から生まれる。

認知科学者の見解

認知科学者
「金槌を持つものには、何もかもが釘に見える」

たいていの認知科学者は、数学は人間の発明であると考える。一定の数学的能力は、生まれつき備わっているからだ。

自然数のような基本的な概念でさえ、人間が物質世界の要素を抽象化することによって生み出したと考える数学者もいる。数学の出発点たる自然数が人間精神に依存しているのだから、数学は発明なのだ、と考えられる。

数学は発見と発明のまぜあわせ

著者の見解はこうだ。

発見か発明かと、ふたつに分けられるものではない。組み合わせだ。

一般的な概念は発明。概念同士の関係は発見。

公理やそれを補う概念たちは発明。そこから導かれる定理は発見だ。

「素数という概念は発明だが、素数にまつわるあらゆる定理は発見である。」

西洋以外の文化圏では、素数は発明されなかったが、素数なしでもある種の数学は発展した。このことから、数学の文化的な側面を著者は強調している。また、言語が持つ二つの特徴と数学の類似点に注目している。

・無制約性

いままで聞いたこともない文章を作り出し、理解できること

・刺激に対する自由性

反応する方法、反応するかどうかすら自由に選択できること

数学の不条理なまでの有効性はなぜ？

著者の意見はマイケル・アティヤに近いという。認知科学的なものだ。

脳を進化的な文脈で見ると、数学が自然科学において謎の成功を遂げた理由は、少なくとも部分的には説明が付く。脳は物質世界に対処するべく進化してきた。したがって、脳がその目的に適った言語──数学──を築き上げてきたのは、そうびっくりするようなことでもないのだ。

しかし、自然界のより難解な側面を説明できる理由としては弱い。

ほかに有効な説明は、数学の進化論だ。問題を解くために適した数学概念、理論が生き残る。だから、数学は自然をうまく説明できる。数学は改良と修正の歴史なのだ。

また、数学の不変性も見逃せない。一度正しいと確かめられたものは、ずっと正しいのだ。これが、自然界の方もなぜか法則的である、という事実にうまくマッチしてくれている。

しかし、宇宙を説明できる数学理論がなぜ存在するのか、という問いは残る。いいかえれば、数学理論の存在を保証してくれるものとはなにか。

著者は、保証などない、と答える。実際に、カオス理論などに象徴されるように、数学の理論では記述できない現実の方が多い。

数学は特に基礎科学の記述に関しては抜群の威力を発揮するが、われわれの宇宙のあらゆる側面を記述しつくすことはできない。つまりある意味では、科学者たちは数学で解決できそうな問題を選び出し、研究してきたとも言えるのだ。

・数学で解決できそうな問題を選び出し研究してきた

・思っているよりも数学は有効ではない

ということだろう。

個人的感想

「数学の不条理な有効性」についての完璧な答えは得られていない。専門家の間でも、結論はでていない。むしろ、専門家であるほど、考察の余地を残している。

自身の立場によってさまざまだが、数学者よりも、認知科学者の知見が説得力を持つように見える。なぜなら、この問いそのものは数学の問いではないからだ。

数学も人間の心によって作られたもの、この意見は強い。

そうなると、「人間の心と自然界の関係」というこれまた大きな哲学的な問いにぶつかってしまう。心脳問題と繋げてみても面白そうだ。

「数学とは何か」を考えるためには様々な学問からアプローチするべきなのだろう。この本の著者もそうしている。「意識とは何か？」「宇宙とはなにか？」といった、とんでもない難問が整理されたときこそ、またこの「数学とは何か？」という問いに帰ってくるべきかもしれない。いずれにせよ、いろいろな学問の横断がポイントになりそう。おもしろい。

より詳しくは本書へ進んでみてほしい。

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