記事の内容
この記事では、数理論理学、数学基礎論、プログラム理論、計算論などの分野にまたがるおすすめな本を紹介したい。
軸として、「コンピュータは数学者になれるか」という本を挙げたい。この本では、巻末にて、さらなる専門書が紹介されている。初学者である私にはとても参考になった。それらの本を今回の記事では紹介したい。
ほかにも個人的に読んでみてよかった本も併せて紹介する。
教科書、専門書の紹介が多くなる。
数理論理学、数学基礎論とプログラム理論、計算論などをつなぐようないい地図を初学者は欲しいと思う。そのためにも、こうして記事にしておきたい。ぜひ目次に目を通してみてほしい。
コンピュータは数学者になれるのか 数学基礎論から証明とプログラムの理論へ
コンピュータは数学者になれるのか？ | 照井一成 | 数学 | Kindleストア | Amazon
数学基礎論、論理学、人工知能、プログラムをまたぐ、とんでもなくエキサイティングな本になっている。
この分野に興味がある人は、この本をまずは手に取ってみるのがいいと思う。横断的にそのおもしろさを体感できる。この本の丁寧なところは、巻末に各専門書の紹介もされているところ。この記事では、それらの本を一冊ずつ取り上げていきたい。
この本の内容そのものについては、こちらの記事でまとめている。
数理論理学
情報科学における論理
情報科学のいろいろな分野で最近とみに数理論理学が用いられるようになってきた。多年にわたる講義やセミナーでの経験をもとに、最も大切な《基本的な考え方を完全に理解すること》を目標に書かれた新しい入門書。
数理論理学 鹿島亮
論理，とくに数学における論理を研究対象とする数学の分野である数理論理学の入門書。ゲーデルの完全性定理・不完全性定理をはじめとした数理論理学の基本結果をわかりやすくかつ正確に説明しながら，その意義や気持ちを伝える。
数理論理学 戸次大介
さまざまな分野で用いられている論理学．本書は哲学系・数学系・情報系・言語系のいずれかに偏ることなく，その共通部分となる初歩の部分が身につくことを目指したテキストである．予備知識はいっさい仮定せず，一からていねいに解説する．具体例や演習問題も豊富．
論理学 野矢茂樹
現代論理学という知の風景へ誘う，文科のための入門書．初心者の素朴な疑問と驚きに満ちた，不思議の国への旅だち．豊富な問題・論題を設け，説き明かすことよりも，読者への問いかけを意図した．
著者が哲学者なだけあって、「論理」を幅広く考えることができる。論理学の基本的な考え方を吸収できるはず。
記号論理入門 前原昭二
記号論理の入門書として最適のものとして知られている旧著に、安東祐希による補足を加え「新装版」として刊行。
ここからは個人的おすすめ本！！
はじめての数理論理学 山田俊行
個人的におすすめしたいのがこの本。数理論理学の基礎をやさしく教えてくれる。そもそも、数学における「証明」ということの確認から始めてくれるので、とても親切。
この本については、こちらの記事もおすすめ。
証明と論理に強くなる ～論理式の読み方から，ゲーデルの門前まで～
論理的に考えるとはどういうこと？証明するってどういうこと？という問いに簡潔に答える論理と証明のための徹底解説本です。論理に強くなるためには，論理記号に対するアレルギーを克服することが第一です。本書は，「かつ」「ならば」などの基本的な論理記号からまず入ります。論理記号や論理式には解釈を逐語訳のように併記するので，臆することなく読み進めてもらえます。そして数学の問題で出てきた「証明」の考え方へと話を進めます。論理と証明の考え方を習得することがゲーデル不完全性定理の理解につながることにも言及します。
つまずきやすいポイントの説明が明快！！
やっぱ小島さんの本はいいよね。
証明の読み方・考え方〔原著第6版〕: 数学的思考過程への手引き
数理論理学のベースは「証明」。
証明に慣れるための貴重な一冊。
数学は言葉 新井紀子
数学は言葉である、という態度。
数学の基礎を改めて学びたい人におすすめ。
CHAPTER 1 定義とは何か
1.1 論理の誕生
1.2 どう定義すべきか
1.3 数学の辞書
COLUMN 数学と言葉 野崎昭弘
CHAPTER 2 数学の文法
2.1 命題の対象
2.2 性質の表現
2.3 数学の接続詞
CHAPTER 3 和文数訳
3.1 数訳のコツ
3.2 論理結合子の解釈
3.2.1 場合に分ける「:または」
3.2.2 箇条書きでまとめる「:かつ」
3.2.3 反対の反対は賛成「:否定」
3.2.4 前提と結論をつなぐ「:ならば」
3.2.5 置き換えと変形「:同値」
3.2.6 変数を扱う「:すべて」と「ある」
3.3 論理記号の規則
3.3.1 交換法則・結合法則・分配法則
3.3.2 対偶
3.3.3 ド=モルガンの法則
CHAPTER 4 数文和訳
4.1 なぜ数学教科書の日本語は難解か
4.2 グラフのちがいを数文で表現する
4.3 イプシロン-デルタ論法
4.4 微妙な差異を読み解く
4.5 数訳の困難
CHAPTER 5 かたちから言葉を見る(影浦 峡)
5.1 文のかたちに訴えるとき
5.2 コンピュータが言葉を使う
5.3 かたちを追究すると・・・・・・
5.4 それでもできないこと
5.4.1 情報の入れ込み方・慣用
5.4.2 状況や文脈に依存した表現
5.4.3 言葉はモノでもある
5.4.4 とても複雑な文
5.5 ところで人間は,といえば・・・・・・
CHAPTER 6 証明とは何か
6.1 見ること,わかること
6.2 事実と証明
6.3 証明の形式
CHAPTER 7 数学の作文
7.1 集合と論理
7.2 証明を書いてみよう
7.3 数学的帰納法
7.4 「補題」はなぜ必要なのか
数学的推論が世界を変える 金融・ゲーム・コンピューター
数学と推論がどう結びつくのか。また、それがどう世界を変えるのか。おそらくタイトルを見て、最初に気になるところではないかと思います。でも、これは決して大げさに言っているわけではありません。
例えば、株価はなぜファンダメンタル（基礎価格）を外れて跳ね上がるのでしょうか。それはファンダメンタルより高く買う人が、「それより高く買う人がいる」と他人の考えを読んだ上で行動するからです。その連鎖が続く限り、価格はいつまでも上昇することになります。経済社会のゆがみは、このような「ハラの探りあい」の複雑化から起こると著者は指摘します。
「ハラの探りあい」を専門的に言い換えたのが、メインタイトルにもある「数学的推論」です。数学、というと「日常生活に関係がない」とか「難しいのではないか」と身構える方も多いかもしれません。しかし、答えはどちらも半分イエスで半分ノーです。確かに普段私たちは数学や論理学といったことを意識しながら生活してはいません。とはいえ、対人関係から経済社会の問題まで、そのウラに無数の思惑がうごめいていることはいうまでもないことでしょう。とりわけそれが顕著に表れるのは金融、ゲーム、コンピューターといった分野です。現代において、これらから完全に無関係な人など果たしているでしょうか。
本書のハイライトは、人間のみならず、コンピューター同士の取引までもが本格化しつつある今の金融をめぐる状況です。そこでは複雑すぎて人間には理解し難い「ハラの探りあい」が日々行われています。しかし、その基本的な仕組み自体は、私たちが高校数学で習ったような記号による明快なロジックの積み重ねでしかありません。そのことがいったい何を意味するのか。読み進むにつれて徐々に明らかになっていきます。
本書では、ゲーデルの定理やゲーム理論などの本格的な数理論理の解説があるので、多少頭に汗をかくようなところはありますが、それだけ、読後に開ける視界は明るいということを保証します。
第一章 数学でマネーを稼ぐ人たち――ギャンブルからアルゴトレーディングまで
第二章 数学的推論とは何か――トレーディングを支える原理
第三章 コンピューターにできること・できないこと
第四章 「正しい」とはどういうことか――「可能世界」から考える
第五章 「知っていること」を知っている――ゲーム理論の推論
第六章 なぜリスクを根絶できないのか――「不完全性定理」から考える
第七章 金融バトルを解きあかす――「新しい推論」は何をもたらすか
かなりのおすすめ本。マイナーすぎて絶版か。kindleもなし（泣）
私は中古で買いました。
数理論理学という方法と、経済的な視野の融合。貴重な視点だと思う。
数学基礎論
数学基礎論 新井敏康
特別な予備知識を仮定せずに、数学基礎論における核心的な結論、技法やアイデアをもれなく説明した本格的な教科書。「不完全性定理」や「連続体仮説の独立性証明」などの結果が、どのような考え方によって得られたのか、その完全な証明を通して解説する。より深い理解のために豊富な演習問題と丁寧な解答を付した。
第I部 入門篇
第1章 1階論理入門
第2章 計算理論入門
第3章 不完全性定理
第II部 基礎篇
第4章 「基礎篇」の準備
第5章 モデル理論
第6章 計算理論
第7章 集合論
第8章 証明論
ゲーデル 不完全性定理
翻訳者、および解説の著者の一人の林晋です。この本は、最初から主に解説を読んでもらうことを意図して企画された岩波文庫としては特異な一巻です。その解説は、不完全性定理の数学的理解のための入門的解説ではなく、この定理の数学史における位置と意義の解説を主目的としています。岩波文庫の哲学の巻よりは易しいですが、かなり高い文系の理解力を持つ読者を想定して書いてあります。教科書などで既に不完全性定理を理解した読者が、原典を確認し、また、その数学史における意義を理解したい時に読むと最適ですが、数学的内容の理解は一先ずおいて、この定理の歴史的な意義を理解したいという読者にも適しています。ただし、８章の「論文の構造」だけは、ゲーデルが、原論文をどうしてあの形に書いたかを解明する数学的なテキスト分析になっており、ここだけは、相当なレベルの数学的能力をもってる読者を想定して書きました。
Amazonより
不完全性定理 菊池誠
不完全性定理 | 菊池 誠 |本 | 通販 | Amazon
不完全性定理をとりまく数学基礎論の世界
本書は，専門的な予備知識は仮定せずに完全性定理や計算可能性から論じ，第一および第二不完全性定理，Rosser の定理，Hilbert のプログラム，Gödel の加速定理，算術の超準モデル，Kolmogorov 複雑性などを紹介して，不完全性定理の数学的意義と，その根源にある哲学的問題を説く。
この本もすごい。不完全性定理を深掘りするための、数学の基礎付けの議論が丁寧。数学というものの分からなさについてまで言及がある。数学の哲学についての議論があるおかげで、数学の基礎を本当の意味で意識できる。
証明論入門 竹内外史
還元法による証明論という数学基礎論の一分野への導入という一貫した姿勢で,従来の論理関係の教科書に見られない内容を扱って初歩から解説。『証明論入門(数学基礎論 改題)』として1988年に改題発行後,以来,長年にわたり多数の読者にご愛読いただいてまいりました。この度,多くの読者からの要望を受け再発行するものです。
数学基礎論講義 不完全性定理とその発展
数学基礎論の出発点でもあるゲーデルの不完全性定理。本書はこの不完全性定理を主題とし、数理論理学の基礎から現在までの不完全性定理を超えた研究の流れを捉えた、数学基礎論における入門書である。
ゲーデルと20世紀の論理学 １～４
本シリーズは、ゲーデルの仕事を基点に20世紀の論理学の歩みを振り返り、公平な歴史認識のもとで、現代論理学の核となる概念や事実を立体的かつビビッドに解き明かそうという試みである。第1巻では20世紀のロジック全体を鳥瞰し、また日本を代表するロジシャンたちの案内で研究現場の様子を等身大に観る。
ゲーデルの定理 利用と誤用の不完全ガイド
「革命」ばかりが語られてきた不完全性定理について、本来の定理としての醍醐味を語る。ゲーデル、チューリングをはじめとする驚くべき頭脳がシステムの性質を探る、創造性あふれる営みを垣間見る旅。しかも数々の誤用例を素材に、ゲーデルの定理では言えないことまでを徹底的に点検し、定理の射程を明らかにしている。認知科学、物理学、神学、ポストモダン批評など、思いつくかぎりの分野から誤用・誤解の事例がとりあげられている。誰もが陥りやすい錯覚や、緻密な考察の末の誤りも多く、著名な科学者の文章でさえ例に漏れない。同じ轍を踏まないためにもゲーデルの定理を引用する際にはとりわけ必読の書である。
ここからは個人的おすすめ本！！
現代思想 総特集 ゲーデル
20世紀最大の数学者・ゲーデルに迫る。
証明不可能な命題は常に存在し、誰も自身の無矛盾を証明することはできない―ー。
20世紀以後の数学および哲学の展開を規定するメルクマールとなったゲーデルの「不完全性定理」。
本特集では、数学・哲学・物理学等の視点から、その尽きせぬポテンシャルを再検証する。
ゲーデルによる重要論考および詳細な解説も収録。
初版刊行から10年。多数のご要望にお応えして待望の復刊。
哲学的な興味がある人はより楽しめるはず。数学から哲学的な考察まで、かなり刺激的。不完全性定理というものを、最新の論者、学者がどうとらえているのかが分かっておもしろい。
不完全性定理というテーマについては、次の記事にまとめている。いろいろなおすすめ本を紹介している。
キューネン数学基礎論講義
読みやすい方。しかし、今は絶版かな。。。？
数学基礎論序説 数の体系への論理的なアプローチ
扱う話題が豊富！
意味と形式の織り成す世界へ――。
数学基礎論の入門から最先端までを、大胆な構成と精緻な記述で探る。21世紀の数学基礎論を切り開く力作。
● 「第1部 数理論理学入門」では、数学基礎論の基本ツールとなる数理論理学を初学者に向けて丁寧に解説する。1階論理のエッセンスをゲーデルの完全性定理を中心に学ぶ。
● 「第2部 自然数と実数の形式体系」は数学基礎論の入門編で、自然数論に関するゲーデルの不完全性定理や、実数論に関するタルスキの完全性など、1970年頃まで(「逆数学」誕生以前)の数学基礎論を展望する。
● 「第3部 2階算術と逆数学」では、数学基礎論の新しいプログラム「逆数学」とその周辺に焦点を当て、数学の基礎に対するロジックのさまざまな分析法を案内する。古典的な結果とともに、ラムジーの定理、無限ゲーム、超準モデルなどに関する最近の話題を紹介。とくに代数学の基本定理の超準的証明を完全収録した。
プログラミング理論、計算論、コンピュータサイエンス
計算理論の基礎（１～３）
本書は，Sipser教授のMITでの講義ノートをもとにまとめられたものです。計算の理論の主テーマである，オートマトンと言語の理論，計算可能性の理論，そして計算の複雑さの理論をカバーしています。
「まえがき」を含めて，随所に講義の雰囲気が感じられます。定理を述べたあと直ちに証明に取り かからず，証明のアイディアを与える工夫，証明の失敗例に言及して理解を深めさせるなど，教育的 配慮の行き届いた教科書だと言えましょう。――訳者まえがきより
王道の教科書。
最近、改訂版が出版された。
計算論 計算可能性とラムダ計算
計算とは何か、計算できる関数全体は数学的にどのような構造をもっているか、などといった問題について考察する。
ラムダ計算についてくわしい教科書。関数型言語に興味ある人にも、おすすめ。
プログラミング言語の基礎概念
関数型言語MLの一種Objective Camlを題材としてプログラミング言語の意味論，型システム，プログラミング言語の基礎概念，これらの概念間の数学的な関連を学ぶ．
オンライン演習システムを用いて，「証明」を解答とする演習問題の正誤をWeb上で自動判定することもできる．
プログラムの厳密な意味とは何だろう？
関数型言語の理論を学びたい人、プログラミング意味論に興味ある人には、最初の一冊としておすすめ。
論理と計算のしくみ
命題論理・述語論理や様相論理など形式論理の基礎を学んだあと、ゲーデル不完全性定理を通して「計算」の意味を理解する。さらに計算モデルの典型であるラムダ計算について学習し、論理と計算をつなぐ「仕組み」を理解する。
この分野の全体の外観をつかむのにちょうどいい。コンパクトにまとまっている。
コンピュータサイエンス入門 アルゴリズムとプログラミング言語
パソコン時代にふさわしい計算機科学の教科書．いかに効率のよいアルゴリズムを設計するか，またプログラミング言語はどのように作られ，実装されるのかなど，初学者にとって必要最小限の基礎を明快に解説．プログラムの意味と論理を解説した別巻と併せて，理論の基礎は完全に修得できる．著者らの秀逸な思想が貫かれた1冊．
悲しいことに現在絶版か。
コンピュータサイエンス入門 論理とプログラム意味論
計算機が正しく指示通りに動くためには，論理的に無矛盾で意味に曖昧さのないプログラムが記述されていなければならない．この当然と思えることが成り立つのは数理論理学とプログラミング言語の意味論の研究のたまものである．本書は，その基本的なところを紹介し，新しい情報の表現や処理の方法を創造するための指針を与える．
悲しいことに現在絶版か。
ここからは個人的おすすめ本
計算理論と数理論理学
本書は「計算理論」と「数理論理学」を同時に学ぶための、学部上級から大学院初年級レベルの教科書あるいは独習書である。背景の説明も充実しているので、幅広くリファレンスとしても活用できる。
両分野を同時に学ぶといっても、単に両分野の共通項を括り出したり類似性を強調したりするのではなく、それぞれの違いは違いとして認めながら、両分野の稜線に立って壮大な景色を展望している。
時間的な広がりにおいても、1960年代のクリプキの許容可能順序数の理論から、最近のパリティゲームの無記憶決定性の証明まで、あまり一般向けの解説がないような話題も掘り起こして著者独自目線で数理論理学と計算理論の広がりを描いている。
計算できるもの、計算できないもの
計算機による計算とは何か、計算できるものとできないものの境界はどこにあるのか―それを明らかにする計算理論は、計算機科学においてもっとも基本的、かつ重要なものです。
本書では、概念の説明や、結果の証明にPythonプログラムを利用する実践的なアプローチにより、計算可能問題と計算不能問題、扱いやすい問題と扱いにくい問題があること、文章では簡単に表現できても計算機には解けない重要な問題が数多くあること、効率よく解ける問題と解けない問題があることなどを、計算理論の礎を築いたアラン・チューリングとリチャード・カープの論文の抜粋とともに解明します。
チューリングマシン、有限オートマトン、万能計算、非決定性、チューリング還元、計算量クラス、NP完全性などのトピックをカバーしています。
わかりやすいよ！！！
具体的なPythonコードが載っているのがありがたい。
証明をPythonコードで実感できる。
現代思想 ＜計算＞の世界
現代思想 チューリング
チューリングを読む
知られざるコンピューターの思想史
序章 フォン・ノイマン、ゲーデル、タルスキと一枚の写真
第1章 「オーストリア的」な知はいかに立ち現れたか〜ドイツ近代哲学との対峙の中で
第2章 カントからチューリング・マシンへ〜コンピューターの芽を育んだドイツの哲学と数学
第3章 ウィーン学団、3名のオーストリア人科学者の夢物語
第4章 「フォン・ノイマン」と呼ばれた男の名前の変遷
第5章 国際政治に振り回されたポーランドの論理学
第6章 理想主義、観念論、そしてヘーゲル〜19世紀のアメリカ哲学
第7章 アメリカにとって大学とは何か〜アメリカにおける大学観の変遷
第8章 新世界より〜オーストリアからアメリカへと渡った移民たち
第9章 ニューヨークの大学とユダヤ人哲学者の系譜
第10章 アメリカでのタルスキ〜幻の「タルスキ型」コンピューター
第11章 どうしてフォン・ノイマンとゲーデルはアメリカにやってきたのか〜アメリカ学問の中心地プリンストンの誕生
第12章 アナログからデジタルへ〜「ノイマン型」コンピューターの誕生
第13章 プリンストンで出会った3名が再会した会議と再会しなかった会議〜人工知能の誕生
第14章 「大学」でない大学MIT〜戦争によってもたらされたアメリカン・ドリーム
第15章 「西海岸のハーバード」を目指したスタンフォード大学の歩み
第16章 コンピューター史に名を残すもう一人の「ノイマン」〜イギリスのコンピューター黎明期
終章 ウィーンからニュージャージーへ〜分析哲学へと向かうアメリカ哲学の道のり
チューリングの考えるキカイ
記号と再帰
「x:=x+1」のような命令をはじめ、プログラミング言語を仔細にみてゆくと、人間の自然言語とは異なる再帰性、記号系の自己言及が見られる。人工言語の記号論を企て、人間の記号系の本質を再考し、サントリー学芸賞、大川出版賞に輝いた名著を新装してペーパーバックに。
【主要目次】
第1章 人工言語と記号論
第2章 情報記号
第I部 記号のモデル
第3章 バビロンの混乱
第4章 記号が一体化する時
第5章 「である」と「する」
第II部 記号の種類
第6章 文x:=x+1
第7章 三種類の項
第8章 ある■・その■
第III部 記号のシステム
第9章 構造的・構成的
第10章 記号と時間
第11章 系の再帰と進化
第12章 結語
問題解決力を鍛える！アルゴリズムとデータ構造
アルゴリズムを実践しよう。
まとめ
参考になるような本はあったでしょうか？
こういった分野にまず興味がある人は、まずは「コンピュータは数学者になれるか」という本を読んでみてほしいです。とてもおすすめである。
そのあと、各分野をじっくりと学んでいくのがいいかもしれない。その範囲はとんでもなく分厚いので、何年もかかると思う。楽しんでいきたい！！
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