はじめに

　機械学習や統計学で登場する各種の確率分布について、「計算式の導出・計算のスクラッチ実装・計算過程や結果の可視化」などの「数式・プログラム・図」を用いた解説により、様々な角度から理解を目指すシリーズです。

　この記事では、ポアソン分布の統計量について数式を使って確認します。

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ポアソン分布の統計量の導出：モーメント母関数の場合

　ポアソン分布(Poisson distribution)の期待値(平均)と分散の計算式を導出します。この記事では、モーメント母関数(積率母関数・moment-generating function)から各種の統計量を求めます。
　ポアソン分布については「ポアソン分布の定義式 - からっぽのしょこ」、モーメント母関数については「ポアソン分布のモーメント母関数の導出 - からっぽのしょこ」を参照してください。

統計量の導出

　ポアソン分布のモーメント母関数を用いて、統計量の計算式を求めます。

定義式の確認

　ポアソン分布のモーメント母関数は、パラメータ $\lambda$ を用いて、次の式で定義されます。

$\displaystyle M(t) = e^{\lambda (e^t-1)}$

　ここで、 $\lambda$ は単位時間における事象の発生回数の期待値を表します。 $\lambda$ は正の値 $\lambda \gt 0$ を満たす必要があります。
　また、 $e$ はネイピア数です。
　詳しくは「モーメント母関数の導出」を参照してください。

1階微分の計算式

　モーメント母関数 $M(t)$ を $t$ に関して微分します。

$\displaystyle \frac{\mathrm{d} M(t)}{\mathrm{d} t} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} \Bigl\{ e^{\lambda (e^t - 1)} \Bigr\}$

　合成関数の微分を行います。

$\displaystyle \begin{align} \frac{\mathrm{d} M(t)}{\mathrm{d} t} &= e^{\lambda (e^t - 1)} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} \Bigl\{ \lambda (e^t - 1) \Bigr\} \\ &= e^{\lambda (e^t - 1)} \left( \lambda \frac{\mathrm{d} e^t}{\mathrm{d} t} - \frac{\mathrm{d} \lambda}{\mathrm{d} t} \right) \\ &= e^{\lambda (e^t - 1)} \Bigl( \lambda e^t - 0 \Bigr) \\ &= \lambda e^{\lambda (e^t - 1) + t} \tag{1} \end{align}$

途中式の途中式(クリックで展開)

1: 式全体を $g(f(x))$ 、指数部分を $f(x)$ として、合成関数の微分 $\frac{\mathrm{d} g(f(x))}{\mathrm{d} x} = \frac{\mathrm{d} g(x)}{\mathrm{d} f(x)} \frac{\mathrm{d} f(x)}{\mathrm{d} x}$ を行います。
1: 指数関数の微分は $\frac{\mathrm{d} e^x}{\mathrm{d} x} = e^x$ です。
2: 元の式の指数部分を $f(x) + g(x)$ として、和の微分 $\frac{\mathrm{d} f(x) + g(x)}{\mathrm{d} x} = \frac{\mathrm{d} f(x)}{\mathrm{d} x} + \frac{\mathrm{d} g(x)}{\mathrm{d} x}$ を行います。
2: $t$ と無関係な項を $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}$ の外に出します。
3: 定数の微分は $\frac{\mathrm{d} a}{\mathrm{d} x} = 0$ です。
4: 指数の性質 $x^a x^b = x^{a+b}$ より、ネイピア数の項をまとめます。

　1階微分の式が得られました。

2階微分の計算式

　モーメント母関数 $M(t)$ を $t$ に関して2階微分します。

$\displaystyle \begin{aligned} \frac{\mathrm{d}^2 M(t)}{\mathrm{d} t^2} &= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} \frac{\mathrm{d} M(t)}{\mathrm{d} t} \\ &= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} \Bigl\{ \lambda e^{\lambda (e^t - 1) + t} \Bigr\} \end{aligned}$

途中式の途中式(クリックで展開)

1: 2階微分(1階微分を更に微分する)の式を立てます。
2: 1階微分の項を式(1)と置き換えます。

　合成関数の微分を行います。

$\displaystyle \begin{align} \frac{\mathrm{d}^2 M(t)}{\mathrm{d} t^2} &= \lambda e^{\lambda (e^t - 1) + t} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} \Bigl\{ \lambda (e^t - 1) + t \Bigr\} \\ &= \lambda e^{\lambda (e^t - 1) + t} \left( \lambda \frac{\mathrm{d} e^t}{\mathrm{d} t} - \frac{\mathrm{d} \lambda}{\mathrm{d} t} + \frac{\mathrm{d} t}{\mathrm{d} t} \right) \\ &= \lambda e^{\lambda (e^t - 1) + t} \Bigl( \lambda e^t - 0 + 1 \Bigr) \\ &= \lambda e^{\lambda (e^t - 1) + t} (\lambda e^t + 1) \tag{2} \end{align}$

途中式の途中式(クリックで展開)

1-3: 「1階微分の計算式」のときと同様にして式を変形します。
3: 変数の微分は $\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} x} = 1$ です。

　2階微分の式が得られました。

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期待値の計算式

　モーメント母関数の微分に $t = 0$ を代入すると、期待値が求まります。

$\displaystyle \mathbb{E}[x] = \left. \frac{\mathrm{d} M(t)}{\mathrm{d} t} \right|_{t=0}$

　モーメント母関数の微分の式(1)に $t = 0$ を代入した式と置き換えます。

$\displaystyle \begin{align} \mathbb{E}[x] &= \lambda e^{\lambda (e^0 - 1) + 0} \\ &= \lambda e^0 \\ &= \lambda \tag{3} \end{align}$

途中式の途中式(クリックで展開)

1: $M'(0)$ の式に置き換えます。
2-3: 0乗は $x^0 = 1$ です。

　期待値の式が得られました。

2乗の期待値の計算式

　モーメント母関数の2階微分に $t = 0$ を代入すると、2乗の期待値が求まります。

$\displaystyle \mathbb{E}[x^2] = \left. \frac{\mathrm{d}^2 M(t)}{\mathrm{d} t^2} \right|_{t=0}$

　モーメント母関数の2階微分の式(2)に $t = 0$ を代入した式と置き換えます。

$\displaystyle \begin{align} \mathbb{E}[x^2] &= \lambda e^{\lambda (e^0 - 1) + 0} (\lambda e^0 + 1) \\ &= \lambda e^0 (\lambda + 1) \\ &= \lambda^2 + \lambda \tag{4} \end{align}$

途中式の途中式(クリックで展開)

1: $M''(0)$ の式に置き換えます。
2-3: 0乗は $x^0 = 1$ です。

　2乗の期待値の式が得られました。

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分散の計算式

　分散は、「 $x$ の2乗の期待値」と「 $x$ の期待値の2乗」の差で求まります。

$\displaystyle \begin{aligned} \mathbb{V}[x] &= \mathbb{E}[x^2] - (\mathbb{E}[x])^2 \\ &= \lambda^2 + \lambda - \lambda^2 \\ &= \lambda \end{aligned}$

途中式の途中式(クリックで展開)

1: 期待値を用いた $x$ の分散の式を立てます。
2: 前の項に式(4)、後の項に式(3)の2乗を代入します。

　分散の式が得られました。

　以上で、ポアソン分布の統計量の計算式が求まりました。

　この記事では、ポアソン分布のモーメント母関数から統計量の式を求めました。次の記事では、特性関数から求めます。

参考文献

作者:星野満博,西崎雅仁
晃洋書房

おわりに

　これくらいのレベルの式変形だともう問題なさそうです。

2025.08.16：加筆修正しました。

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