はじめに

　機械学習や統計学で登場する各種の確率分布について、「計算式の導出・計算のスクラッチ実装・計算過程や結果の可視化」などの「数式・プログラム・図」を用いた解説により、様々な角度から理解を目指すシリーズです。

　この記事では、ポアソン分布の特性関数について数式を使って確認します。

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ポアソン分布の特性関数の導出

　ポアソン分布(Poisson distribution)の特性関数(characteristic function)を導出します。
　ポアソン分布については「ポアソン分布の定義式 - からっぽのしょこ」を参照してください。

特性関数の導出

　ポアソン分布の定義式を用いて、特性関数の式を求めます。

　ポアソン分布は、パラメータ $\lambda$ を用いて、次の式で定義されます。

$\displaystyle \mathrm{Poisson}(x \mid \lambda) = e^{-\lambda} \frac{\lambda^x}{x!}$

　ここで、 $x$ は単位時間における事象の発生回数、 $\lambda$ は発生回数の期待値を表します。 $x$ は非負の整数 $x \in \{0, 1, 2, \cdots\}$ をとり、 $\lambda$ は正の値 $\lambda \gt 0$ を満たす必要があります。
　また、 $e$ はネイピア数、 $x!$ は $x$ の階乗です。
　詳しくは「分布の定義式」を参照してください。

　特性関数は、 $e^{itx}$ の期待値で定義されます。 $e$ はネイピア数、 $i$ は虚数単位です。

$\displaystyle \begin{aligned} \varphi(t) &= \mathbb{E}[e^{itx}] \\ &= \sum_{x=0}^{\infty} e^{itx} \mathrm{Poi}(x \mid \lambda) \\ &= \sum_{x=0}^{\infty} e^{itx} e^{-\lambda} \frac{\lambda^x}{x!} \end{aligned}$

途中式の途中式(クリックで展開)

1: $e^{itx}$ の期待値の式を立てます。
2: 離散型確率分布の期待値の定義式 $\mathbb{E}[x] = \sum_x f(x) p(x)$ より、関数 $e^{itx}$ と確率分布 $\mathrm{Poi}(x \mid \lambda)$ の積和の式に置き換えます。
3: ポアソン分布の定義式より、確率分布を具体的な式に置き換えます。

　 $x$ に関して式を整理します。

$\displaystyle \begin{aligned} \varphi(t) &= e^{-\lambda} \sum_{x=0}^{\infty} \frac{(e^{it})^x \lambda^x}{x!} \\ &= e^{-\lambda} \sum_{x=0}^{\infty} \frac{(e^{it} \lambda)^x}{x!} \end{aligned}$

途中式の途中式(クリックで展開)

1: 指数の性質 $x^{ab} = (x^a)^b$ より、ネイピア数の項を変形します。
1: $x$ と無関係な項を $\sum_{x=0}^{\infty}$ の外に出します。
2: 指数の性質 $x^a y^a = (x y)^a$ より、 $x$ の項をまとめます。

　総和の項について、指数関数のマクローリン展開の式の形をしているので、指数関数に変形します。

$\displaystyle \begin{aligned} \varphi(t) &= e^{-\lambda} e^{e^{it} \lambda} \\ &= e^{e^{it} \lambda - \lambda} \\ &= e^{\lambda (e^{it} - 1)} \end{aligned}$

途中式の途中式(クリックで展開)

1: 指数関数のマクローリン展開 $e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$ より、非負の整数 $x$ を $n$ 、 $e^{it} \lambda$ を $x$ に対応させて、総和の項を置き換えます。
2: 指数の性質 $x^a y^a = (x y)^a$ より、ネイピア数の項をまとめます。
3: $\lambda$ を括ります。

　特性関数の式が得られました。モーメント母関数の $t$ を $it$ に置き換えた式と一致します。

　指数部分が分かりやすいように、指数関数を $e^x = \exp(x)$ で表現すると、次の式になります。

$\displaystyle \begin{aligned} \varphi(t) &= \exp(- \lambda) \exp \Bigl( \exp(it) \lambda \Bigr) \\ &= \exp \Bigl( \exp(it) \lambda - \lambda \Bigr) \\ &= \exp \Bigl( \lambda (\exp(it) - 1) \Bigr) \end{aligned}$

　先ほどと同じ式を表します。

　以上で、ポアソン分布の特性関数の計算式が求まりました。

　この記事では、ポアソン分布の特性関数の式を求めました。次からの記事では、統計量の式を求めます。

参考文献

作者:星野満博,西崎雅仁
晃洋書房

おわりに

　なるべく記事を分けて書く方針に切り替えたのですが、「公開する」ボタンを押す時に文字数の表示を見てブログってこんな短くてよかったんだっけとまだ少し躊躇してしまいます。ちなみにこの記事だとLaTeXコマンド込みで2千字ちょっとです。これまでは、コードにLaTeXコマンド込み込みで1万字を下回ることはほとんどない感じでした。

2025.08.16：加筆修正しました。

　文字数は4千字足らずになりました。

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