「buy = 受け入れる」の意味
「buy」は「～を買う」という意味ですが、「～を受け入れる」の意味で使われることがあります。
これは、何かを買う時に「その商品や値段に納得して買う」という所から派生し、「（意見など）を受け入れる」や「（話など）に納得する / 信じる」の意味が生まれます。
例文
I'll buy that.
賛成です。
※「相手の意見を受け入れる」の意味
I buy it.
分かった。
※「それに納得した」の意味
I'm not buying that.
信じてないよ。
納得してないよ。
I don't buy his excuse.
彼の言い訳には納得できない。
ドラマ『ランナウェイ』のセリフ
No, I can't buy it.
違うと思う（日本語字幕）
相手に「You believe that?」と聞かれた時の返事です。
直訳だと「いいえ、私はそれを信じることができない」になります。
日本語語字幕では「そう思うか？」に対して「違うと思う」となっています。
「sell = 納得させる」の意味
逆に「sell」は「～を納得させる」や「～を信じさせる」、「～受け入れさせる」になります。
これは「相手を納得させて売る」や「アイディアや提案などを売り込む」というイメージからです。
また、「I’m sold on」の形で「～に納得する」も使われます。
例文
I'm sold.
納得しました。
You sold me.
納得しました。
※直訳は「あなたは私を納得させた」
You're not selling it very well.
あまり説得力がない。
※「上手く売り込んでいない / 上手く納得させられていない」ところから
I'm not buying what you're selling.
あなたが信じさせようとしていることを私は信じません。
※これ自体よく使われるフレーズ
He tried to sell the proposal to the committee.
彼は委員会に対し、その提案に賛成してもらおうとした。
（引用：ウィズダム英和辞典 第4版）
I’m not sold on this plan yet.
まだこの計画に納得していません。
You sold me out. の意味
「You sold me out.」の意味は「あなたは私を裏切った」です。
これは日本語の「人を売る」や「仲間を売る」と同じイメージです。
また、スラング的に、名詞「sellout」の形で「裏切り」や「裏切者」の意味でも使われます。
まとめ
・「buy」は「その商品や値段に納得して買う」ところから「～を受け入れる」の意味でも使われる
・主に「（意見など）を受け入れる」や「（話など）に納得する / 信じる」の意味で使われる
・「sell」は「相手を納得させて売る」や「（アイディアや提案など）を売り込む」ところから「～を納得させる」「～を信じさせる」「～受け入れさせる」の意味になる
・「You sold me out.」の意味は「あなたは私を裏切った」
・名詞「sellout」の形で「裏切り」や「裏切者」
