回答編です。
＜直線＞
問8. 次の２点 A,B を結ぶ線分 AB を 4:3 に内分する点 P、
4:3 に外分する点 Q 、および線分 AB の中点 M の座用を求めよ。
(1) A(2,1),B(9,8)
答え) P(6,5)
3*2 + 4*9 6 + 36 42
x= ----------- = --------- = ---- = 6
4 + 3 7 7
3*1 + 4*8 3 + 32 35
y= ----------- = --------- = ---- = 5
4 + 3 7 7
Q(30,29)
-3*2 + 4*9 -6 + 36 30
x= ----------- = --------- = ---- = 30
4 - 3 1 1
-3*1 + 4*8 -3 + 32 29
y= ----------- = --------- = ---- = 29
4 - 3 1 1
M(11/2,9/2)
2 + 9 11
x= ----------- = ---------
2 2
1 + 8 9
y= ----------- = ---------
2 2
(2) A(-2,3),B(6,-1)
答え) P(18/7,5/7)
3*(-2)+4*6 -6 + 24 18
x= ----------- = --------- = ----
4 + 3 7 7
3*3+4*(-1) 9 - 4 5
y= ----------- = --------- = ----
4 + 3 7 7
Q(30,-13)
Q(18,-13)-3*(-2)+4*6 6 + 24 30
18
x= ----------- = --------- = ----
4 - 3 1 1
-3*3+4*(-1) -9 - 4 -13
y= ----------- = --------- = ----
4 - 3 1 1
M(2,1)
-2 + 6 4
x= ----------- = --------- = 2
2 2
3 - 1 2
y= ----------- = --------- = 1
2 2
問9. 点 A(-3,1) に関して、点 P(4,3) と対称な点 Q の座標を求めよ。
答え) Q(a,b) と仮定。問より点 A が、「点 P と 点 Q の中点」である。
よって、中点の公式より、
P(4,3) + Q(a,b) 4 + a 3 + b
A(-3,1) = ----------------- = ( ------- , ------- )
2 2 2
^^^^^^^^^^^^^^^^^^
※ 便宜的表現
が、成立。
これを解いて、Q(a,b)=Q(-10,-1)
(参考) 外分点の公式から、
(-1)*a + 2*(-3) (-1)*b + 2*1
P(4,3) = ( ---------------- , ---------------- )
2 - 1 2 - 1
としても解ける。
問10. 次の３点を頂点とする△ABCの重心G の座標を求めよ。
(1) A(5,-3),B(4,7),C(-6,2)
答え) G(1,2)
5 + 4 + (-6) 3
x = ----------------- = --- = 1
3 3(-3) + 7 + 2 6
y = ----------------- = --- = 2
3 3
(2) A(0,-4),B(5,3),C(2,-4)
答え) G(7/3,-5/3)
0 + 5 + 2 7
x = ----------------- = ---
3 3(-4) + 3 + (-4) -5
y = ----------------- = ---
3 3
問11. 点(-3,4) を通り、次の条件を満たす直線の方程式を求めよ。
(1) 傾きが 2
答え) y - 4 = 2 * { x - (-3) }
∴ y = 2*x +10
(2) 傾きが -1/3
答え) y - 4 = (-1/3) * { x - (-3) }
∴ y = -1/3*x -1 +4
∴ y = -1/3*x +3
(3) 傾きが 0
答え) y - 4 = 0 * { x - (-3) }
∴ y = 4
問13. 次の 2点 A,B を通る直線の方程式を求めよ。
(1) A(-2,3),B(1,9)
9 - 3
答え) y - 3 = ------------ * { x - (-2) }
1 - (-2)
∴ y = 2*x + 4 + 3
∴ y = 2*x + 7
(2) A(2,0),B(0,6)
6 - 0
答え) y - 0 = ------------ * ( x - 2 )
0 - 2
∴ y = -3*x + 6 + 0
∴ y = -3*x + 6
(3) A(-4,1),B(-4,5)
5 - 1
答え) y - 1 = ------------ * { x - (-4) } ・・・ ※
-4 - (-4)
∴ {-4 - (-4)} * ( y - 1 ) = 4 * { x - (-4) }
∴ 0 = x - (-4)
∴ x = -4
※ x が同じ値の為、分母が 0 となり、不能。(傾きが無限大∞)
(4) A(2,5),B(-7,5)
5 - 5
答え) y - 5 = ------------ * ( x - 2 )
-7 - 2
∴ y - 5 = 0
∴ y = 5
問14. ２直線 x+2*y+1=0、x-y-5=0 の交点と、点(1,2) を通る直線の方程式を求めよ。
答え) x+2*y+1=0
-) x -y-5=0
-------------3y+6=0
∴ y=-2
x -y-5=0 に y=-2 を代入。
∴ x=3
２点 (3,-2) と (1,2) を通る直線を考える。公式より、
2 - (-2)
y - (-2) = ----------- * ( x - 3 )
1 - 3
∴ y = -2*x + 6 + (-2)
y = -2*x + 4
問16. 点(3,-1) を通り、直線 4*x-y-1=0 に平行な直線の方程式を求めよ。
また、垂直な直線の方程式を求めよ。
答え) 平行: 傾き m は 4 。公式より、
y - (-1) = 4 * ( x - 3 )
∴ y = 4*x - 13
垂直: 垂直条件 m*m'=-1 より、m' = -1/4 。
-1
y - (-1) = ( ---- ) * ( x - 3 )
4
-1 -1
∴ y = ---- * x + ----
4 4
問17. 次の点と直線の距離 d を求めよ。
(1) 点(2,-3)、直線 x+2*y+2=0
答え) 距離の公式は以下の通り。
点(x1,y1) と 直線 a*x + b*y + c = 0 の距離 d は、
| a*x1 + b*y1 + c |
d = ------------------------
SQR( a^2 + b^2 )
※ SQR() は自乗根の関数。
| 1*2 + 2*(-3) + 2 | |-2| 2*SQR(5)
公式より、d = ------------------------ = --------------- = ---------
SQR( 1^2 + 2^2 ) SQR(5) 5
(2) 原点O、直線 4*x-3*y-5=0
答え)
| 4*0 + (-3)*0+ (-5)| |-5| 5
公式より、d = ------------------------ = --------------- = --------- = 1
SQR( 4^2 + (-3)^2 ) SQR(25) 5
＜円＞
問2. 次の円の中心の座標と、半径を求めよ。
(1) (x-5)^2 + (y-2)^2 = 16
答え) 中心(5,2)、半径 4
(2) (x+2)^2 + y^2 = 5
答え) 中心(-2,0)、半径 SQR(5)
問3. 点(2,3) を中心とし、点(5,-3) を通る円の方程式を求めよ。
答え) 半径 r = SQR( ( 5 - 2 )^2 + ( (-3) - 3 )^2 )
= SQR( 3^2 + (-6)^2 )
= SQR( 9 + 36 )
= SQR(45)
点(a,b)を中心とし、半径 r の円の方程式は次の通り。
(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2
今、中心点(2,3)、半径 r=SQR(45) であるので、公式より、
(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 = 45
(x-2)^2 + (y-3)^2 = 45
問6. ３点 A(1,3),B(5,-1),C(-1,-1) を通る円の方程式を求めよ。また外心座標を求めよ。
(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 を変形して、
x^2 + y^2 + ℓ*x + m*y + n = 0 とする。
( このとき、ℓ = -2*a , m= -2*b , n = a^2 + b^2 - r^2 である。)
この式に３点の座標を代入すると、次の３つの等式が成立する。
A: 1^2 + 3^2 + ℓ*1 + m*3 + n = 0
B: 5^2 + (-1)^2 + ℓ*5 + m*(-1) + n = 0
C: (-1)^2+(-1)^2 + ℓ*(-1) + m*(-1) + n = 0
この三連立方程式を解いて、ℓ = -4, m = 0, n = -6 。
これより x^2 + y^2 + ℓ*x + m*y + n = x^2 + y^2 -4*x + 0 - 6 = 0
∴ 円の方程式は、x^2 + y^2 -4*x - 6 = 0 ・・・ (1)
外心座標(a,b) は、ℓ = -2*a , m= -2*b より、
∴ a = 2 , b = 0
∴ 外心座標は (2,0) である。
(参考)
半径 r を求めてみる。n = a^2 + b^2 - r^2 であるので、
n = 2^2 + 0^2 - r^2 = -6
r^2 = 4 + 6
∴ r = SQR(10)
よってこの円の方程式は、外心座標は (2,0)、半径 r = SQR(10) より、
(x-2)^2 + y^2 = 10 ・・・ (1)'
となる。これは (1) の式と等価である。
[検算]
点A(1,3) : 左辺 = (1-2)^2 + 3^2 = 1 + 9 = 10 = 右辺
点B(5,-1) : 左辺 = (5-2)^2 + (-1)^2 = 9 + 1 = 10 = 右辺
点C(-1,-1) : 左辺 = (-1-2)^2 + (-1)^2 = 9 + 1 = 10 = 右辺
いずれも成立する。
(その２へ続く)
いじょうです。
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