https://tsujimotter.hatenablog.com/entry/algebraic-quotient-of-gamma-values

前回の記事でガンマ関数の基本的な性質について話したので、今日も引き続きガンマ関数について考えたいと思います。

tsujimotter.hatenablog.com

今日考えたいのは、ガンマ関数の特殊値に関する商

$\def\gdf#1#2{\Gamma\left(\dfrac{#1}{#2}\right)} \displaystyle \begin{align*} A &= \dfrac{\gdf{1}{5} \gdf{4}{5}}{\gdf{2}{5} \gdf{3}{5}}, \\ B &= \dfrac{\gdf{1}{20} \gdf{9}{20}}{\gdf{3}{20} \gdf{7}{20}} \end{align*} \tag{1}$

についてです（この記事では特に前者について考えます）。

（図はGemini (Nano Banana Pro) に描いてもらいました。）

背景（ガンマ関数の商の代数性）

前回の記事ではガンマ関数 $\Gamma(z)$ の $z = 1/2$ の値について計算しました。重積分などの複雑な積分計算の末に

$\displaystyle \gdf{1}{2} = \sqrt{\pi} \tag{2}$

という式を得ることができました。よって、ガンマ関数の性質 $\Gamma(z + 1) = z \,\Gamma(z)$ から

$\displaystyle \gdf{1}{2}, \; \gdf{3}{2}, \; \gdf{5}{2}, \; \gdf{7}{2}, \; \gdf{9}{2}, \; \ldots$

のような半整数の引数については計算できたことになります。

今回は $\gdf{1}{5}$ や $\gdf{1}{20}$ のような半整数ではない分数を引数にもつ、ガンマ関数の特殊値について考えたいというわけです。

ところで、式 $(2)$ の右辺は $\pi$ が入っていることから分かるように、明らかに超越数です。

有理数係数の多項式

$f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_2 x^2 + a_1 x + a_0$

を用いて $f(\alpha) = 0$ と表せる複素数 $\alpha$ を代数的数といい、代数的数ではない複素数を超越数といいます。

超越数であるかどうかを判定することは一般に難しく、超越数の具体的な例としては

$e, \;\; \pi$

のような例をはじめとする「限られた数」しか知られていません。 $e$ と $\pi$ の四則演算の結果

$\pi + e, \;\; \pi - e, \;\; \pi e, \;\; \dfrac{\pi}{e}$

ですら、超越数であるかどうかわからないというのだから驚きです。

ガンマ関数の超越性についてもほとんど知られていることはありませんが、一般に分数引数のガンマ関数の特殊値 $\Gamma(a/n)$ については超越数であると期待されています。

Wikipedia "Gamma function" によれば、 $\Gamma(1/6), \; \Gamma(1/4), \; \Gamma(1/3)$ などの一部の値については超越数であることが知られているようです：
en.wikipedia.org

そんなわけで、これから求めようとする $\Gamma(1/5)$ や $\Gamma(1/20)$ に関しても、おそらく超越数だと考えられ、値としては $\pi$ のような超越数を含む数になりそうです。

ところが、これらをうまく組み合わせて

$\displaystyle \begin{align*} A &= \dfrac{\gdf{1}{5} \gdf{4}{5}}{\gdf{2}{5} \gdf{3}{5}}, \\ B &= \dfrac{\gdf{1}{20} \gdf{9}{20}}{\gdf{3}{20} \gdf{7}{20}} \end{align*} \tag{1再掲}$

のような商をつくると、なんと結果が代数的数になってしまうのです。さらに、その値は具体的に計算することができます！！

そんなわけで、この具体的な計算をやってみようというのが今日のテーマです。

道具1：ガンマ関数の相反公式

今回用いる道具の一つめはガンマ関数の相反公式です。

定理（相反公式）

$\displaystyle \Gamma(z) \,\Gamma(1 - z) = \frac{\pi}{\sin \pi z} \tag{3}$

相反公式の左辺は、ガンマ関数 $\Gamma(z)$ と変数を置き換えた $\Gamma(1 - z)$ の積となっています。

これは

$z \;\; \longleftrightarrow \;\; 1 - z$

という、ある意味で対称的な位置にあります。

実際これらの2点は、複素数平面において点 $1/2$ を中心に点対称な位置関係にあります。

こんな風に $z$ 座標を点対称な位置にひっくり返した $\Gamma(1 - z)$ を掛け算すると、右辺にはsin関数が出てくるというのが相反公式というわけです。

座標をひっくり返したところの関数値同士が等式で結ばれるというのは面白いですね。

実はこの相反公式を用いると、前回頑張って計算した

$\gdf{1}{2} = \sqrt{\pi} \tag{2再掲}$

を簡単に求めることができます。

実際、相反公式において $z = \dfrac{1}{2}$ とすると

$\displaystyle \gdf{1}{2}^2 = \dfrac{\pi}{\sin \dfrac{\pi}{2}} = \pi$

が得られます。よって、両辺のルートをとって $\gdf{1}{2} = \sqrt{\pi}$ が得られます。面白いですね！

相反公式の証明は、ガンマ関数の

$\displaystyle \Gamma(z) = \lim_{n\to \infty} \frac{n! n^z}{z(z+1)(z+2)\cdots (z + n)} \tag{4}$

という極限公式や、sin関数の無限乗積表示

$\displaystyle \frac{\sin(\pi z)}{\pi z} = \prod_{n=1}^{\infty} \left( 1 - \frac{z^2}{n^2} \right) \tag{5}$

によって得られます。

実際、

$\displaystyle \begin{align*} &\Gamma(z)\, \Gamma(1 - z) \\ &= \lim_{n\to \infty} \frac{n! n^z}{z(z+1)(z+2)\cdots (z + n)} \\ &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \cdot \frac{n! n^{1-z}}{(1 - z)(2 - z)\cdots (n + 1 - z)} \\ &= \lim_{n\to \infty} \frac{n}{z(n + 1 - z)} \\ &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \cdot \frac{(n!)^2}{(1^2 - z^2) (2^2 - z^2)\cdots (n^2 - z^2)} \\ &= \lim_{n\to \infty} \frac{1}{z\left(1 + \dfrac{1 - z}{n}\right)} \\ &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \cdot \frac{1}{\left(1 - \dfrac{z^2}{1^2}\right) \left(1 - \dfrac{z^2}{2^2}\right)\cdots \left(1 - \dfrac{z^2}{n^2}\right)} \\ &= \frac{1}{z \prod_{n=1}^{\infty} \left(1 - \dfrac{z^2}{n^2}\right)} \\ &= \frac{\pi}{\sin(\pi z)} \end{align*}$

として得られます。

上記の極限公式 $(4)$ やsin関数の無限乗積表示 $(5)$ の証明は難しいので、ここでは行いません。

とにかく、このようなペアをセットにして掛け合わせることで、ガンマ関数をsin関数に置き換えることができるというのが、今回の話のミソです。

ガンマ関数の商 $A$ の計算

さて、相反公式を使って、式 $(1)$ の $A$ を具体的に計算してみましょう。

$\displaystyle A = \dfrac{\gdf{1}{5} \gdf{4}{5}}{\gdf{2}{5} \gdf{3}{5}}$

相反公式は $z \; \longleftrightarrow \; 1 - z$ を入れ替えたもの同士のペアを掛け合わせると、sin関数が出てくるというものでした。

実は

$\displaystyle \frac{1}{5} \; \longleftrightarrow \; \frac{4}{5}, \;\;\;\; \frac{2}{5} \; \longleftrightarrow \; \frac{3}{5}$

が相反公式のペアになっています。

よって、相反公式により

$\displaystyle \gdf{1}{5} \gdf{4}{5} = \dfrac{\pi}{\sin \dfrac{\pi}{5}} \tag{6}$

$\displaystyle \gdf{2}{5} \gdf{3}{5} = \dfrac{\pi}{\sin \dfrac{2\pi}{5}} \tag{7}$

が成り立ちます。

ここで $\dfrac{(6)}{(7)}$ を計算すると

$\displaystyle \begin{align*} A &= \dfrac{\gdf{1}{5} \gdf{4}{5}}{\gdf{2}{5} \gdf{3}{5}} \\ &= \dfrac{\pi}{\sin \dfrac{\pi}{5}} \cdot \dfrac{\sin \dfrac{2\pi}{5}}{\pi} \\ &= \dfrac{\sin \dfrac{2\pi}{5}}{\sin \dfrac{\pi}{5}} \end{align*} \tag{8}$

が得られます。

右辺は純粋に三角関数の値になってしまったので、あとは容易に計算できそうです。

三角関数の倍角公式より

$\displaystyle \begin{align*} A &= \dfrac{\gdf{1}{5} \gdf{4}{5}}{\gdf{2}{5} \gdf{3}{5}} \\ &= \dfrac{2 \sin \dfrac{\pi}{5} \cos \dfrac{\pi}{5}}{\sin \dfrac{\pi}{5}} \\ &= 2 \cos \dfrac{\pi}{5} \end{align*}$

が成り立ちます。

右辺の $\cos$ は有名角（ $\dfrac{\pi}{5} = 36^{\circ}$ ）なので

$\displaystyle \cos \frac{\pi}{5} = \frac{1 + \sqrt{5}}{4} \tag{9}$

であることが知られています。

$\cos 36^{\circ}$ の計算方法については、これはこれで面白いので以下の記事で紹介しました。
tsujimotter.hatenablog.com

よって

$\displaystyle A = \dfrac{\gdf{1}{5} \gdf{4}{5}}{\gdf{2}{5} \gdf{3}{5}} = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \tag{10}$

が得られました。

実は右辺は黄金比 $\phi = \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2}$ になるのですね。面白いです！！

そんなわけで、ガンマ関数の相反公式を用いて、対称的な因子をセットで考えることで、ガンマ関数をすべて三角関数に落とし込むことができました。

三角関数の特殊値は代数的に解けるため、代数的数になるというわけですね。

道具2：ガウスの乗法公式

2つめの商を計算するにあたって、もう一つ必要になるのはガウスの乗法公式です。

$\displaystyle \prod_{k=0}^{n-1} \Gamma\left(z + \dfrac{k}{n}\right) = (2\pi)^{\frac{n-1}{2}} n^{\frac{1}{2} - nz} \, \Gamma(nz) \tag{10}$

これは大変複雑な形をしていますが、ガンマ関数の $n$ 倍公式です。すなわち、右辺にある $\Gamma(nz)$ という形の式（ $z$ の $n$ 倍）が、左辺のガンマ関数 $n$ 個の積

$\displaystyle \Gamma(z) \,\Gamma\left(z + \dfrac{1}{n}\right) \, \cdots \, \Gamma\left(z + \dfrac{n-1}{n}\right)$

によって表せる、というタイプの式になっています。

証明はやはりガンマ関数の公式 $(4)$ を用いるのですが、難しいので省略します。

ガンマ関数の商 $B$ の計算

さて、それでは2つめのガンマ関数の商

$B = \dfrac{\gdf{1}{20} \gdf{9}{20}}{\gdf{3}{20} \gdf{7}{20}} \tag{11}$

について計算したいと思います。

もちろん使うのはガウスの乗法公式 $(10)$ です。ガウスの乗法公式を $n = 5$ として用いると

$\displaystyle \begin{align*} &\Gamma(z) \,\Gamma\left(z + \dfrac{1}{5}\right) \,\Gamma\left(z + \dfrac{2}{5}\right) \,\Gamma\left(z + \dfrac{3}{5}\right) \, \Gamma\left(z + \dfrac{4}{5}\right) \\ & \;\;\;\; = (2\pi)^2 5^{\frac{1}{2} - 5z} \Gamma(5z) \end{align*} \tag{12}$

が得られます。

この式 $(12)$ に対して、 $z = \dfrac{1}{20}, \; \dfrac{3}{20}$ としてそれぞれ適用すると、2つの式が得られます：

$\displaystyle \begin{align*} &\gdf{1}{20} \gdf{5}{20} \gdf{9}{20} \gdf{13}{20} \gdf{17}{20} \\ & \;\;\;\; = (2\pi)^2 5^{\frac{1}{2} - \frac{5}{20}} \gdf{5}{20} \\ & \;\;\;\; = (2\pi)^2 5^{\frac{1}{4}} \gdf{5}{20} \end{align*} \tag{13}$

$\displaystyle \begin{align*} &\gdf{3}{20} \gdf{7}{20} \gdf{11}{20} \gdf{15}{20} \gdf{19}{20} \\ & \;\;\;\; = (2\pi)^2 5^{\frac{1}{2} - \frac{15}{20}} \gdf{15}{20} \\ & \;\;\;\; = (2\pi)^2 5^{-\frac{1}{4}} \gdf{15}{20} \end{align*} \tag{14}$

これらに対して、 $\dfrac{(13)}{(14)}$ を計算すると

$\displaystyle \begin{align*} &\dfrac{ \gdf{1}{20} \gdf{5}{20} \gdf{9}{20} \gdf{13}{20} \gdf{17}{20} } {\gdf{3}{20} \gdf{7}{20} \gdf{11}{20} \gdf{15}{20} \gdf{19}{20} } \\ & \;\;\;\; = 5^{\frac{1}{2}} \dfrac{\gdf{5}{20}}{\gdf{15}{20}} \end{align*} \tag{15}$

となります。

両辺を $\gdf{5}{20} / \gdf{15}{20}$ で割って整理すると

$\displaystyle \dfrac{ \gdf{1}{20} \gdf{9}{20} } {\gdf{3}{20} \gdf{7}{20}} \cdot \dfrac{ \gdf{13}{20} \gdf{17}{20} } { \gdf{11}{20} \gdf{19}{20} } = \sqrt{5} \tag{16}$

が得られます。一つ目の因子に $A$ が現れているので、どうにかして二つ目の因子を消去したいです。

ここで相反公式を用いると

$\dfrac{1}{20} \;\; \longleftrightarrow \;\; \dfrac{19}{20}, \;\;\;\; \dfrac{3}{20} \;\; \longleftrightarrow \;\; \dfrac{17}{20},$

$\dfrac{7}{20} \;\; \longleftrightarrow \;\; \dfrac{13}{20}, \;\;\;\; \dfrac{9}{20} \;\; \longleftrightarrow \;\; \dfrac{11}{20}$

なるペアに対して、次のような関係式が得られます。

$\begin{align*} \gdf{1}{20} \, \gdf{19}{20} &= \dfrac{\pi}{\sin \dfrac{\pi}{20}}, \\ \gdf{3}{20} \, \gdf{17}{20} &= \dfrac{\pi}{\sin \dfrac{3\pi}{20}}, \\ \gdf{7}{20} \, \gdf{13}{20} &= \dfrac{\pi}{\sin \dfrac{7\pi}{20}}, \\ \gdf{9}{20} \, \gdf{11}{20} &= \dfrac{\pi}{\sin \dfrac{9\pi}{20}} \end{align*}$

これらの結果を用いて、 $(16)$ の式から $\gdf{11}{20}, \; \gdf{13}{20}, \; \gdf{17}{20}, \; \gdf{19}{20}$ を消去して

$\displaystyle \left(\dfrac{ \gdf{1}{20} \gdf{9}{20} } {\gdf{3}{20} \gdf{7}{20}} \right)^2 \cdot \dfrac{\sin \dfrac{\pi}{20} \, \sin \dfrac{9\pi}{20} }{\sin \dfrac{3\pi}{20} \, \sin \dfrac{7\pi}{20}} = \sqrt{5} \tag{17}$

が得られます。

あとは三角関数が整理されれば目的の値が得られます。うまいことできていますね！

実際、三角関数の積和の公式

$\displaystyle \sin \alpha \, \sin \beta = \frac{1}{2}\left(\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta) \right) \tag{18}$

を用いると

$\displaystyle \begin{align*} \sin \dfrac{9\pi}{20} \, \sin \dfrac{\pi}{20} &= \frac{1}{2}\left(\cos \dfrac{8\pi}{20} - \cos \dfrac{10\pi}{20} \right) \\ &= \frac{1}{2}\left(\cos \dfrac{2\pi}{5} - \cos \dfrac{\pi}{2} \right) \\ &= \frac{\cos \dfrac{2\pi}{5}}{2} \end{align*}$

$\displaystyle \begin{align*} \sin \dfrac{7\pi}{20} \, \sin \dfrac{3\pi}{20} &= \frac{1}{2}\left(\cos \dfrac{4\pi}{20} - \cos \dfrac{10\pi}{20} \right) \\ &= \frac{1}{2}\left(\cos \dfrac{\pi}{5} - \cos \dfrac{\pi}{2} \right) \\ &= \frac{\cos \dfrac{\pi}{5}}{2} \end{align*}$

上の式を下の式で割ると

$\displaystyle \dfrac{\sin \dfrac{9\pi}{20} \, \sin \dfrac{\pi}{20}}{\sin \dfrac{7\pi}{20} \, \sin \dfrac{3\pi}{20} } = \dfrac{\cos \dfrac{2\pi}{5}}{\cos \dfrac{\pi}{5}}$

が得られます。

$\dfrac{2\pi}{5} = 72^{\circ}, \;\; \dfrac{2\pi}{5} = 36^{\circ}$ より

$\displaystyle \cos 72^{\circ} = \frac{-1 + \sqrt{5}}{4}$

$\displaystyle \cos 36^{\circ} = \frac{1 + \sqrt{5}}{4}$

となりますので

$\displaystyle \dfrac{\cos 72^{\circ}}{\cos 36^{\circ}} = \frac{-1 + \sqrt{5}}{1 + \sqrt{5}} = \dfrac{4}{(1 + \sqrt{5})^2}$

が得られます。

$\cos 72^{\circ}$ の計算方法についても、以下の記事で紹介しています。
tsujimotter.hatenablog.com

したがって、 $(17)$ に代入して

$\displaystyle \left(\dfrac{ \gdf{1}{20} \gdf{9}{20} } {\gdf{3}{20} \gdf{7}{20}} \right)^2 = \sqrt{5}\cdot \frac{(1 + \sqrt{5})^2}{4} \tag{18}$

が得られます。

ガンマ関数の商の部分は正の値なので、両辺平方根とって

$\displaystyle \begin{align*} B &= \dfrac{ \gdf{1}{20} \gdf{9}{20} } {\gdf{3}{20} \gdf{7}{20}} \\ &= \sqrt[4]{5}\cdot \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2} \end{align*} \tag{19}$