問題概要
正整数 $n$ が与えられる．正整数の組 $( x, y )$ であって，$x^3 - y^3 = n$ であるようなものを一つ報告せよ．存在しない場合はその旨を報告せよ．
制約
- $1 \leq n \leq 10^{ 18 }$
解法
$x, y$ の組合せをすべて試すことが（時間的に）許されるならば何も問題はありませんが，そういうことはできません．また，$x, y$ の内片方を固定しても，固定されていることを $\hat x$ や $\hat y$ で示すとして，与式を固定されていない方について解いた
\[
y^3 = { \hat x }^3 - n
\]
や
\[
x^3 = n - { \hat y }^3
\]
を眺めてみても（少なくともわたしの数学センスでは）あまりうれしい気持ちになれません．また，$n$ に対して $x, y$ の上界も自明では無い気がします．
（本番で気付けずにお手上げになってしまったこととして，）$x, y$ の内片方を固定すると他方が自動的に決まるようにしてあげれば，与式は一元 $3$ 次方程式になるので，なんとかなりそうな気配がします．そこで，（問題設定より $x > y$ なので）$x - y$ を固定することにし，
\[
d = x - y
\]
としてみます．そうすると $x = y + d$ なので与式は
\[
( y + d )^3 - y^3 = n
\]
となります．左辺を変形すると
\begin{align*}
( y + d )^3 - y^3 &= y^3 + 3dy^2 + 3d^2y + d^3 - y^3 \\
&= 3dy^2 + 3d^2y + d^3
\end{align*}
となるので，$y^3$ の項が消えて $y$ についての $2$ 次方程式
\[
3dy^2 + 3d^2y + d^3 - n = 0
\]
が得られます．とりあえず
\begin{align*}
a &= 3d \\
b &= 3d^2 \\
c &= d^3 - n
\end{align*}
として，全員が暗記させられる解の公式に突っ込んでみると
\begin{align*}
y &= \frac{ -b \pm \sqrt{ b^2 - 4ac } }{ 2a } \\
&= \frac{ -3d^2 \pm \sqrt{ ( 3d^2 )^2 - 4 ( 3d )( d^3 - n ) } }{ 2( 3d ) }
\end{align*}
が得られます．問題設定から $y > 0, d > 0$ であり $-b = -3d^2 < 0$ なので，$\pm$ の内 $-$ の方は不適です．従って，$d$ を決めると $y$ は（虚数解でなければ）自動的に（実数の範囲で）定まるので，これが正整数になっているかを調べるなどすれば判定できます．
$d$ をどの範囲で試せばよいのかという問題が残っていますが，
\begin{align*}
x^3 - y^3 &= ( y + d )^3 - y^3 \\
&= 3dy^2 + 3d^2y + d^3
\end{align*}
は $y, d$ の非負性から単調増加であり，
\[
n = 3dy^2 + 3d^2y + d^3 \geq d^3
\]
から
\[
d \leq \sqrt[3] n
\]
と分かるので，$10^6$ まで試せばよいです．
ということで，各 $d \in [ 1, 2, \dots, 10^6 ]$ について上述の二次方程式を考えて，正整数解をもつものがあればそのときの $y$ と $y$ に応じて自動的に決まる $x$ が解の一つで，条件を満たすものが無ければ解無しです．
愚直に計算すると $d^4$ の項が 64 ビット整数でもオーバーフローするので 128 ビット整数とか多倍長整数とかを使う必要がありますが，それらを備える言語であれば横着できます．また，平方根の計算も実数として計算してから round して．与式の等式を満たすかどうか調べるなどすると横着できます．
コード
main = do n <- readInteger printList $ fromMaybe [-1] $ listToMaybe $ do d <- [ 1 .. 1000000 ] let a = 3 * d b = 3 * d^2 c = d^3 - n guard $ 0 <= b^2 - 4 * a * c let rd = round $ sqrt $ fromIntegral $ b^2 - 4 * a * c y = ( -b + rd ) `div` ( 2 * a ) x = y + d guard $ 0 < y && x^3 - y^3 == n return $ [ x, y ]
