https://tobetakoyaki.hatenablog.com/entry/2024/09/15/180000

この記事では，位相線形空間 $X$ が Hausdorff 空間であることを $0 \in X$ の近傍によって特徴づける次の定理を紹介します．

Hausdorff 性は「異なる 2 点を互いに交わらない開近傍で分離できる」ことを表します．この性質は，命題 2 で述べるように，閉近傍の共通部分を用いて特徴づけることができます．

したがって，位相空間が線形性を持っているなら，Hausdorff 空間であることは，空間のどこか 1 点，例えば点 $0$ の閉近傍の共通部分を用いて特徴づけることができそうです．

定理 4 の主張は，これが実は閉近傍に限るのではなく，近傍でも良い，ということを意味します．

さて，Hausdorff 性の定義から始めて，定理 4 やその系の証明まで進みましょう．

準備

以下では，位相空間 $X$ の元 $x \in X$ に対して，

$\mathcal{N}(x)$ ： $x$ の近傍全体の集合
$\mathcal{O}(x)$ ： $x$ の開近傍全体の集合
$\mathcal{F}(x)$ ： $x$ の閉近傍全体の集合

と略記することとします．すぐに分かるように， $\mathcal{O}(x) \subseteq \mathcal{N}(x)$ , $\mathcal{F}(x) \subseteq \mathcal{N}(x)$ です．

定義 1 $X$ を位相空間とする．任意の相異なる 2 元 $x, y \in X$ （ $x \neq y$ ）に対して，ある $U_{x} \in \mathcal{O}(x)$ , $U_{y} \in \mathcal{O}(y)$ が存在して， $U_{x} \cap U_{y} = \emptyset$ であるとき， $X$ は Hausdorff 空間である，という．

以下で使う Hausdorff 空間の特徴づけを掲載しておきます．なお，ここでは証明を割愛します．

命題 2 $X$ を位相空間とする．このとき，次の (1) から (3) は同値である．
　(1)　 $X$ は Hausdorff 空間である．
　(2)　対角集合 $\varDelta_{X} = \{(x,y) \in X \times X \mid x = y\}$ は $X \times X$ 上閉である．
　(3)　任意の $x \in X$ に対して， $\bigcap\limits_{F \in \mathcal{F}(x)} F = \{x\}$ である．

位相線形空間の定義も示しておきます．簡単に言えば，線形空間であって，各種の演算や作用が連続なものを位相線形空間と呼びます．

定義 3 $X$ を，位相体 $K$ 上の線形空間とする*1．

$X$ の元の加法： $X \times X \longrightarrow X$ ; $(x,y) \longmapsto x+y$ ,
$X$ のスカラー倍写像： $K \times X \longrightarrow X$ ; $(\alpha, x) \longmapsto \alpha x$

がともに連続であるとき， $X$ を $K$ 上の位相線形空間という*2．

ここまでで定理の主張が理解できるかと思います．今回の主題は以下の定理です．

定理 4 $X$ を位相線形空間とするとき，次の (1) と (2) は同値である．
　(1)　 $X$ は Hausdorff 空間である．
　(2)　 $\bigcap\limits_{V \in \mathcal{N}(0)} V = \{0\}$ である．

この定理 4 を以下で証明していきます．

定理 4 の証明

⇒向き

すべての $V \in \mathcal{N}(0)$ に対して， $0 \in V$ であるから，
\begin{align*}
\{0\} \subseteq \bigcap_{V \in \mathcal{N}(0)} V
\end{align*}である．以下でこれと逆向きの包含関係の成立を示す．

$x \in \bigcap\limits_{V \in \mathcal{N}(0)} V$ とし，さらに $x \neq 0$ とすると， $X$ は Hausdorff 空間なので，ある $U_{x} \in \mathcal{O}(x)$ , $U_{0} \in \mathcal{O}(0)$ が存在して，
\begin{align*}
U_{x} \cap U_{0} = \emptyset
\end{align*}となる．

特に， $x \notin U_{0}$ , $U_{0} \in \mathcal{N}(0)$ であるが，これは $x \in \bigcap\limits_{V \in \mathcal{N}(0)} V$ と矛盾する．よって， $x = 0$ である．したがって， $\bigcap\limits_{V \in \mathcal{N}(0)} V \subseteq \{0\}$ であるから，
\begin{align*}
\bigcap_{V \in \mathcal{N}(0)} V = \{0\}
\end{align*}である．

⇐向き

まずは次の補題を示す．

補題 5\begin{align*}
\bigcap_{V \in \mathcal{N}(0)} V = \overline{\{0\}}.
\end{align*}

証明．
まず $x \in \bigcap\limits_{V \in \mathcal{N}(0)} V$ を言い換える．
\begin{align*}
x \in \bigcap_{V \in \mathcal{N}(0)} V &\iff {}^{\forall} V \in \mathcal{N}(0),\ x \in V \\
&\iff {}^{\forall} V \in \mathcal{N}(0),\ 0 \in x - V
\end{align*}である．ここで，
\begin{align*}
x - V := \{x-y \mid y \in V\}
\end{align*}であり，2 つ目の $\iff$ は，

$x \in V \implies 0 = x - x \in x - V$ ,
$0 \in x-V \implies {}^{\exists} y \in V, \ 0 = x-y \implies x = y \in V$

より従う．

$x-V$ は「 $-V$ 」という $0$ の近傍を， $x$ だけ平行移動したものであるから， $x-V$ は $x$ の近傍である．このことから
\begin{align*}
{}^{\forall} V \in \mathcal{N}(0),\ 0 \in x - V \iff {}^{\forall} \widetilde{V} \in \mathcal{N}(x),\ 0 \in \widetilde{V}
\end{align*}となる*3．

さらに，集合 $A$ の $X$ 上の閉包 $\overline{A}$ の定義は，
\begin{align*}
\overline{A} := \{x \in X \mid {}^{\forall} V \in \mathcal{N}(x),\ V \cap A \neq \emptyset\}
\end{align*}であるから，
\begin{align*}
\overline{\{0\}} &= \{x \in X \mid {}^{\forall} \widetilde{V} \in \mathcal{N}(x),\ \widetilde{V} \cap \{0\} \neq \emptyset\}\\
&= \{x \in X \mid {}^{\forall} \widetilde{V} \in \mathcal{N}(x),\ 0 \in \widetilde{V}\}
\end{align*}である．すなわち，
\begin{align*}
{}^{\forall} \widetilde{V} \in \mathcal{N}(x),\ 0 \in \widetilde{V} \iff x \in \overline{\{0\}}
\end{align*}である．したがって，補題が従う．

補題 5 証明終

補題 5 から， $\bigcap\limits_{V \in \mathcal{N}(0)} V = \{0\}$ であるとき，
\begin{align*}
\overline{\{0\}} = \bigcap_{V \in \mathcal{N}(0)} V = \{0\}
\end{align*}が成り立ち，これは $\{0\}$ が $X$ の閉集合であることを意味する．

ここで，写像 $f \colon X \times X \longrightarrow X$ を，
\begin{align*}
f(x,y) = x-y
\end{align*}で定めれば， $f$ は連続である．したがって，
\begin{align*}
f^{-1}(\{0\}) = \varDelta_{X} = \{(x,y) \in X \times X \mid x = y\}
\end{align*}は $X \times X$ の閉集合である．

よって，命題 2 の (2) $\implies$ (1) から $X$ は Hausdorff 空間である．

証明終

定理 4 の系

系 6 $X$ を位相線形空間とするとき，次の (1) から (4) は同値である．
　(1)　 $X$ は Hausdorff 空間である．
　(2)　 $\bigcap\limits_{V \in \mathcal{N}(0)} V = \{0\}$ である．
　(3)　 $\bigcap\limits_{U \in \mathcal{O}(0)} U = \{0\}$ である．
　(4)　 $\bigcap\limits_{F \in \mathcal{F}(0)} F = \{0\}$ である．

証明．【(1) $\iff$ (2)】　これは定理 4 から従う．

【(3) $\implies$ (1), (4) $\implies$ (1)】　 $\mathcal{O}(0), \mathcal{F}(0) \subseteq \mathcal{N}(0)$ であるから，
\begin{align*}
\{0\} \subseteq \bigcap_{V \in \mathcal{N}(0)} V \subseteq \bigcap_{U \in \mathcal{O}(0)} U = \{0\}, \\
\{0\} \subseteq \bigcap_{V \in \mathcal{N}(0)} V \subseteq \bigcap_{F \in \mathcal{F}(0)} F = \{0\}.
\end{align*}したがって，(3) または (4) が成り立つとき， $\bigcap\limits_{V \in \mathcal{N}(0)} V = \{0\}$ となるので，定理 4 から $X$ は Hausdorff 空間である．

【(1) $\implies$ (3)】　 $X$ が Hausdorff 空間であるとする． $\{0\} \subseteq \bigcap\limits_{U \in \mathcal{O}(0)} U$ である．以下で $\bigcap\limits_{U \in \mathcal{O}(0)} U \subseteq \{0\}$ を示す．

$x \in \bigcap\limits_{U \in \mathcal{O}(0)} U$ であり， $x \neq 0$ とする．定理 4 の証明と同様に，ある $U_{x} \in \mathcal{O}(x)$ , $U_{0} \in \mathcal{O}(0)$ が存在して，
\begin{align*}
U_{x} \cap U_{0} = \emptyset
\end{align*}となる． $x \notin U_{0}$ であり， $x \in \bigcap\limits_{U \in \mathcal{O}(0)} U$ と矛盾する．したがって， $x = 0$ である．よって， $\bigcap\limits_{U \in \mathcal{O}(0)} U \subseteq \{0\}$ であるから，
\begin{align*}
\bigcap_{U \in \mathcal{O}(0)} U = \{0\}
\end{align*}である．

【(1) $\implies$ (4)】　命題 2 の (1) $\implies$ (3) より，主張が従う．

証明終

おわりに

途中で見た，

$U$ が $0$ の開近傍である $\implies$ $x + U$ が $x$ の開近傍である

という性質から，なんとなく，「位相線形空間なら， $X$ の Hausdorff 性は， $0$ での（あるいはどこか 1 点での）性質で片が付きそう」と考えることができます．その推論が見事に示されている感があり，証明を書きつつ心地良く感じました．

参考文献

[1] 『現代の数学への道関数解析』（廣島文生著，サイエンス社）*4
[2] 『Atiyah-MacDonald 可換代数入門』（M. F. Atiyah，I. G. MacDonald 著，新妻弘訳，共立出版）*5

*1:位相体とは，体であって，そこに登場する各種の演算が連続であることをいいます．きちんと定義するなら，群の演算や群の逆元をとる写像が連続な群（→位相群）から始め，環の加法群が位相群であり，環の乗法が連続な環（→位相環）を経由し，最後に，環として位相環であり，逆元をとる写像が部分空間 $K^{\times}$ で連続な体として位相体を定義します．

*2:線形位相空間と呼ぶこともあります．

*3:これを丁寧に示す．一般に $x \in X$ の近傍 $V_{x}$ に対して， $y \in X$ によって $y + V_{x}$ という集合を考えると，近傍の定義から，ある $U_{x} \in \mathcal{O}(x)$ が存在して， $x \in U_{x} \subseteq V_{x}$ となる．これより， $x + y \in y + U_{x} \subseteq y + V_{x}$ である．ここで写像 $\phi_{y} \colon X \longrightarrow X$ を $\phi_{y}(z) := -y+z$ で定めると，加法が連続なので $\phi_{y}$ も連続である．したがって， $X$ の開集合 $U_{x}$ の逆像 $\phi_{y}^{-1}(U_{x}) = y + U_{x}$ も $X$ の開集合である．よって， $y + V_{x}$ は $x + y$ の近傍である．上記の $\iff$ のところで， $\Longrightarrow$ 向きは $x$ を $0$ ， $y$ を $x$ と置き換えれば， $\Longleftarrow$ 向きは $x$ は $x$ のまま， $y$ を $0$ と置き換えれば主張が従う．

*4:定理 4 の出所．

*5:定理 4 の証明で参考にした．