https://tobetakoyaki.hatenablog.com/entry/2019/12/13/004003

今回は普段ブログで私が使っている数学の記法についてまとめます．
参考のために一部についてはLaTeXコマンドを掲載しています*1．

数と集合

この章では，特に断りがない場合は $A$ や $B$ を集合， $n$ を自然数， $x$ を実数， $z$ を複素数とします．

数に関する記号

記号	説明
$\operatorname{Re}(z)$	$z$ の実部
$\operatorname{Im}(z)$	$z$ の虚部

集合演算

記号	説明	LaTeXコマンド
$A \cap B$	集合 $A$ と集合 $B$ の共通部分	\cap
$A \cup B$	集合 $A$ と集合 $B$ の和集合	\cup
$A \amalg B$	集合 $A$ と集合 $B$ の直和	\amalg
$A \setminus B$	集合 $A$ と集合 $B$ の差集合	\setminus
$A \times B$	集合 $A$ と集合 $B$ の直積	\times
$A \subseteq B$	$A$ は $B$ の部分集合 (等しい場合を含む) *2	\subseteq
$A \supseteq B$	$B$ は $A$ の部分集合 (等しい場合を含む)	\supseteq
$A \subsetneq B$	$A$ は $B$ の真部分集合 (等しい場合を含まない)	\subsetneq
$A \supsetneq B$	$B$ は $A$ の真部分集合 (等しい場合を含まない)	\supsetneq

具体的な集合

記号	説明	LaTeXコマンド
$\emptyset$	空集合	\emptyset*3
$[n]$	集合 $\{1, \dots, n\}$
$\mathbb{N}$	自然数全体の集合*4	\mathbb{N}
$\mathbb{Z}$	整数全体の集合	\mathbb{Z}
$\mathbb{Q}$	有理数全体の集合	\mathbb{Q}
$\mathbb{R}$	実数全体の集合	\mathbb{R}
$\mathbb{R}_{\ge x}$	集合 $\{ y \in \mathbb{R} \mid y \ge x \}$ *5
$\mathbb{C}$	複素数全体の集合	\mathbb{C}
$\mathbb{H}$	Hamiltonの四元数全体の集合	\mathbb{H}

行列

この章では，特に断りがない場合は $A$ を行列とします．

行列 to スカラー

記号	説明
$\operatorname{det}(A)$	$A$ の行列式
$\operatorname{rank}(A)$	$A$ の階数

行列 to 行列

記号	説明	LaTeXコマンド
$A^{-1}$	$A$ の逆行列
$A^{+}$	$A$ のMoore-Penrose型一般化逆行列 *6
$A^{\top}$	$A$ の転置	A^{\top}
$A^{*}$	$A$ の随伴*7
$A \otimes B$	$A$ と $B$ のKronecker積

代数

この章では，特に断りがない場合は $S$ を集合， $G$ を群， $R$ を環， $K$ を体とし，それらの元はその小文字で表すことにします．

群

記号	説明	LaTeXコマンド
$\mid G \mid$	群 $G$ の位数
$\operatorname{ord}(g)$	元 $g$ の位数*8
$\langle S \rangle$	集合 $S$ によって生成される群*9．特に $S = \{g\}$ のときは $\langle g \rangle$ と略記します．	\langle S \rangle

環と体

記号	説明	LaTeXコマンド
$(x_{1}, \dots, x_{n})$	$x_{1}, \dots, x_{n}$ によって生成されるイデアル
$R^{\times}$	$R$ の単元群*10	R^{\times}
$K[X]$	$K$ 上の一変数多項式環
$K[X]_{\le t}$	次数 $t$ 以下の $K$ 上の多項式からなる多項式環	K[X]_{\le t}
$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$	$n$ で割ったあまりによる集合

確率

この章では，特に断りがない場合は $X$ を確率変数とします．なお，パラメータのとりうる範囲については割愛します．

用語に関する記号

記号	説明
$P(X \le t)$ $\Pr[X \le t]$	$X \le t$ となる確率
$E[X]$ ， $E(X)$	$X$ の期待値
$V[X]$ ， $V(X)$ $\operatorname{Var}(X)$	$X$ の分散
$\operatorname{Cov}(X_{1}, X_{2})$	$X_{1}$ と $X_{2}$ の共分散
$F_{X}(t)$	$X$ の累積分布関数
$f_{X}(t)$	$X$ の確率密度関数または確率質量関数
$\phi_{X}(t)$	$X$ の特性関数

分布に関する記号

記号	説明
$\mathrm{Ex}(\alpha)$	平均 $\dfrac{1}{\alpha}$ の指数分布*11
$\mathrm{G}(\alpha, \nu)$	平均 $\dfrac{\nu}{\alpha}$ ，分散 $\dfrac{\nu}{\alpha^{2}}$ のガンマ分布*12
$\mathrm{N}(\mu,\sigma^{2})$	平均 $\mu$ ，分散 $\sigma^{2}$ の正規分布 *13

暗号

この章では，特に断りがない場合は $x$ をビット列， $m$ を平文， $c$ を暗号文とします．

記号	説明	LaTeXコマンド
$x_{1} \oplus x_{2}$	$x_{1}$ と $x_{2}$ の排他的論理和 (XOR)	\oplus
$\mathsf{pk}$	公開鍵暗号における公開鍵*14	\mathsf{pk}
$\mathsf{sk}$	公開鍵暗号における秘密鍵 *15	\mathsf{sk}
$\operatorname{Enc}(m)$	暗号化関数*16
$\operatorname{Dec}(c)$	復号関数*17

*1:階数を返す関数rankのような，特別に名前を付けて定義した関数の記号はLaTeXの演算子 (operator) として記述しています．そのため，そのような関数の記号は全て $\operatorname{rank}$ のように立体で表記されています．

*2:基本的には $\le$ と $<$ の使い分けと同様の気持ちでいます．しかしながら，真部分集合に $\subset$ の記号を使うと， $\subseteq$ を単なる部分集合の意味で使う流儀の人には混乱を生じさせる虞があります．そこで強調の意味も込めて真部分集合については $\subsetneq$ の記号を使うことにしています．