論理結合子の機能

2019年5月7日のコメントペーパーより。レジュメは古典命題論理。

コメント： を見たときに、どこで区切ればよいのかわからなくてあたふたしました。

 

のように見えました。

回答：きわめて重要なことを質問してくれてありがとうございます。

まず、いろいろな考え方がありますが、ここでは、論理式はひとつの主張を表すと考えてください。主張というのは、ある考えを自分の意見として提示する行為です。そして、主張という行為は単独でも行えますが、いくつかの主張を関連させながら行うということも可能です。推論はまさにそのような行為です。たとえば、

は、 と  をともに主張しつつ、 をそれらから導かれる結論として主張する行為(が妥当であるということ)を表します。 と と  という3つの主張行為が、推論という関係として互いに関連づけられながら行われています。

ここで注目してほしいのは、 と と  とを結ぶ「, (コンマ)」と「」は、論理式を結びつけることで、いくつかの行為からなる一連の複合的な行為を表すための記号としてはたらいている、ということです。

ところで、論理式同士を結びつける記号としては、コンマと だけでなく、 という結合子もありますね。これらは、論理式を結びつけて新しい論理式を形成するための記号です。論理式はひとつの主張を表すのでした。したがってたとえば

は、内容は複合的ですが、論理式としてはひとつなので、ひとつの主張行為を表します。複合的な行為を表すための記号としてのコンマおよび と、複合的な内容をもつ単一の論理式を形成する結合子とでは、役割が異なりますので厳密に区別してください。

さて、以上の区別を念頭におくと、コメントに書いてくれた

 

のおかしさもわかるのではないでしょうか。ここではあたかも、 と を結合子 で結びつけて新しい論理式 ができているように見えますが、結合子というのは「論理式から論理式を形成する記号」であることに注意が必要です。 はコンマを使って形成された複合的な行為を表す表現であり、論理式ではありません。したがって、結合子によって、 と別の記号を結びつけることはできないのに、やっちゃってるのがおかしなところです。

 

せっかくなので、もう一歩踏み込みましょう。上の2つの例を見れば、「でも、

( と から  が導かれる)

と

( かつ ならば  である )

っておんなじことじゃないの？」と思われるかもしれません。まさにそのとおりで、古典論理では次のような同値関係が成り立ちます。

()
()

これを見ると、 で表されている複合的な行為が、結合子によって1つの主張行為 ( など) へとまとめられていることがわかると思います。個別に見ると、

• 連言 は、 と という2つを推論の前提として主張する複合的な行為を、1つの主張  として表す、
• 含意 は、 における2つの主張 と のあいだの推論関係を1つの主張 として表す、

という機能を果たしています。一般に、次のように考えることができます。

推論とは、いくつかの主張がさまざまな仕方で結びつけられた複合的な行為である。論理結合子は、推論中にある主張のあいだの結びつきを、(複合的な内容をもつ) 1つの主張として表すことを可能にする装置である。

この考え方は、R.ブランダムの「論理的表現主義*1」、K.ドッシェンの「句読点としての論理結合子*2」、G.サンビンらの「反映原理*3」といったあたりに共通して見出すことができます。この考えから、いろいろなおもしろいことがわかってくるのですが、ここまでにしましょう。ところで、上では、連言と含意がそれぞれどのような種類の結びつきを表すのかを見ましたが、選言と否定についてはどうでしょうか？それらは何を表しているでしょうか？