区間 $\displaystyle [t_s, t_e$ ] の $\displaystyle t$ に対して、 $\displaystyle f(t)$ をチェビシェフ多項式でフィットさせた係数 $\displaystyle c_0, c_1, c_2, \cdots, c_N$ が与えられているとします。

係数から、以下の手順で $\displaystyle f(t)$ を計算できます。

手順

$\displaystyle t$ を区間 $\displaystyle [-1, 1]$ に正規化したものを $\displaystyle x$ とします。

チェビシェフ多項式(Chebyshev polynomials) $\displaystyle T_0, T_1, \cdots, T_N$ を次の漸化式に従って計算します。

最後、 $\displaystyle f(t)$ は次の式で計算できます。

サンプルコード

以下は係数 $\displaystyle c_i$ (cs) から $\displaystyle f(t)$ を計算するScalaでのサンプルコードです。xは正規化済みとします。高速化のためScalaらしくないコードです。

  def calcChebyshev(cs: IndexedSeq[Double], x: Double): Double = {
    // x は -1.0 <= x <= +1.0
    val n = cs.size;
    if (n == 1) {
      cs(0);
    } else {
      val x2 = 2.0 * x;
      var result: Double = cs(0) + cs(1) * x;
      var i: Int = 2;
      var t0: Double = 1.0;
      var t1: Double = x;
      while (i < n) {
        val t2 = x2 * t1 - t0;
        result += cs(i) * t2;
        t0 = t1;
        t1 = t2;
        i = i + 1;
      }
      result;
    }
  }

※JPLのデータを使うときに必要な計算式です。

JPL Planetary and Lunar Ephemerides