重回帰分析(2値)を平均・分散・共分散・相関係数から計算する式の記事で計算した独立変数が2つの重回帰分析を、独立変数 $\displaystyle m$ 個の重回帰分析に一般化します。

独立変数が2つの重回帰分析での $\displaystyle x, y$ を $\displaystyle x_1, x_2, \cdots, x_m$ に、 $\displaystyle a, b$ を $\displaystyle a_1, a_2, \cdots, a_m$ に置き換えます。

この記事では $\displaystyle x_1, x_2, \cdots, x_m$ をまとめて $\displaystyle \boldsymbol{x}$ 、 $\displaystyle a_1, a_2, \cdots, a_m$ をまとめて $\displaystyle \boldsymbol{a}$ とも書くことにします。

以下の式でフィットさせ、最小二乗法で $\displaystyle a, b, c$ を求めます。

実際の $\displaystyle Z$ の値と上の式で計算した $\displaystyle z$ との差分の二乗 $\displaystyle \varepsilon$ を以下で表します。

ここで $\displaystyle E[X_{\bullet k}$ ] という記法を以下の定義とします。

$\displaystyle E[X_{\bullet 1}$ ] は2値の議論での $\displaystyle E[X$ ] に相当し、 $\displaystyle E[X_{\bullet 2}$ ] は2値の議論での $\displaystyle E[Y$ ] に相当します。この記法をこのあとで使うことにします・

$\displaystyle \varepsilon$ を $\displaystyle \boldsymbol{a}, c$ で偏微分すると0になる $\displaystyle \boldsymbol{a}, c$ が $\displaystyle \varepsilon$ の最小値となりますので、偏微分します。