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平均・分散・共分散・相関係数の計算式

統計

平均

 \displaystyle
\begin{align}
E[X] &= \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i \\
\end{align}

分散

 \displaystyle
\begin{align}
V[X] &= \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (X_i-E[X])^2 \\
&= E[(X-E[X])^2] \\
&= E[X^2 - 2XE[X] + E[X]^2] \\
&= E[X^2] - 2E[X]E[X] + E[X]^2 \\
&= E[X^2] - E[X]^2 \\
\end{align}

共分散

 \displaystyle
\begin{align}
Cov[X, Y] &= \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (X_i-E[X])(Y_i-E[Y]) \\
&= E[(X-E[X])(Y-E[Y])] \\
&= E[XY - XE[Y] - YE[X] + E[X]E[Y]] \\
&= E[XY] - E[X]E[Y] - E[Y]E[X] + E[X]E[Y] \\
&= E[XY] - E[X]E[Y] \\
\end{align}

後述の相関係数を使うと

 \displaystyle
\begin{align}
Cov[X, Y] &= R[X, Y] \sqrt{V[X]} \sqrt{V[Y]} \\
\end{align}

相関係数

 \displaystyle
\begin{align}
R[X, Y] &= \frac{\displaystyle \sum_{i=1}^n (X_i-E[X])(Y_i-E[Y])}{\displaystyle \sqrt{\sum_{i=1}^n (X_i-E[X])^2 \sum_{i=1}^n (Y_i-E[Y])^2}} \\
&= \frac{\displaystyle \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (X_i-E[X])(Y_i-E[Y])}{\displaystyle \sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (X_i-E[X])^2 \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (Y_i-E[Y])^2}} \\
&= \frac{\displaystyle Cov[X, Y]}{\displaystyle \sqrt{V[X]V[Y]}} \\
&= \frac{\displaystyle E[(X-E[X])(Y-E[Y])]}{\displaystyle \sqrt{E[(X-E[X])^2] E[(Y-E[Y])^2]}} \\
&= \frac{\displaystyle E[XY] - E[X]E[Y]}{\displaystyle \sqrt{(E[X^2] - E[X]^2)(E[Y^2] - E[Y]^2)}} \\
\end{align}

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