https://spherical-harmonics.hatenablog.com/entry/2026/03/29/114150

等比数列ではないが， $a_n=nr^{n-1}$ （ $r\neq 1$ ）の和について：

$\dfrac{r^{n+1}-r}{r-1}$ を $r$ で微分して $\dfrac{nr^{n+1}-(n+1)r^n+1}{(1-r)^2}$ を導くことが良く行われる．

これは和 $S_n$ の漸化式 $S_n=S_{n-1}+nr^{n-1}$ から $S_n=(An+B)r^{n-1}+C$ の型，としても良いがこの漸化式を $n=0$ に拡張すると「 $S_0=S_1-a_1=0$ になっている」と考えると， $S_0=0$ を折り込んで $S_n=(An+B)r^{n}-B$ と置き， $S_1=1$ ， $S_2=1+2r$ から $(A+B)r-B=1$ ， $(2A+B)r^2-B=1+2r$ を解けば良いことがわかる．それなりに面倒ではあるが．

なお，

（ベルヌーイの不等式）
$n$ を $0$ 以上の整数， $x$ を $-1$ 以上の実数のとき $(1+x)^n\geqq 1+nx$
（下に凸な関数を接線で下から評価）
が成立する．

において $r=\dfrac{1}{1+x}\gt 0$ ， $n\to n+1$ としたものが， $nr^{n+1}-(n+1)r^n+1\gt 0$ であり，この不等式が $x=0$ （ $r=1$ ）での接線での評価に由来していることから $nr^{n+1}-(n+1)r^n+1$ は $(r-1)^2$ で割り切れることがわかり，実はこの商が $1+2r+3r^2+\cdots+nr^{n-1}$ に一致するというのが $a_n=nr^{n-1}$ （ $r\neq 1$ ）の和である．

個人的にはベルヌーイの不等式を平行移動した
$x^n-nx+n-1$ $=(x-1)^2(x^{n-2}+2x^{n-1}+\cdots + (n-2)x+n-1)$
を推したい．
（参考：AM-GM 不等式の補足 - 球面倶楽部零八式 mark II
1984年(昭和59年)東京大学-数学(理科)[3] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR）

もっとも，この因数分解自体面倒で，
$f_n(x)=x^n-nx+n-1$
とおくと
$f_n(x)-f_{n-1}(x)=(x-1)(x^{n-1}-1)$ $=(x-1)^2(x^{n-2}+x^{n-3}+\cdots+x+1)$
が成立することを利用するのが速いが，これは本質的に $nr^{n-1}$ の和の逆算をやっているだけだったりする．