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等比数列の和の公式(その2)

数学

r\neq 1 の場合だけ考える．S_n=S_{n-1}+ar^{n-1} より S_n=Ar^{n-1}+B の型．

S_1=a，S_2=ar+a により，A+B=a，Ar+B=ar+a から A=\dfrac{ar}{r-1}，B=-\dfrac{a}{r-1} となり，S_n=\dfrac{a(r^n-1)}{r-1} となる．

この漸化式を n=0 に拡張すると「S_0=S_1-a_1=0 になっている」と考えると，S_n=A'r^{n}+B' で S_0=0 を折り込んで S_n=A'(r^n-1) と置いて S_1=a から S_n=\dfrac{a(r^n-1)}{r-1} となることがわかる．



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