https://spherical-harmonics.hatenablog.com/entry/2026/03/20/102430

今年の東大理系数学第4問は正三角形の特徴を踏まえて図形的に考えないと面積の式を出すのが大変だったと言われていますが、係数行列の余因子を用いた3直線で囲まれる面積の一般公式でブン殴れば図形的に考えなくても解けます。#チート式 pic.twitter.com/bxfJP0pWn8
— 佐久間 (@keisankionwykip) 2026年3月19日

2026年は東大以外にも阪大で3次関数の3接線で囲まれる部分の面積が登場するので，意外と使える公式になってきたかも知れないな．

　（3直線によって囲まれてできる三角形の面積の公式）
$\begin{cases} a_1x+b_1y+c_1 \\ a_2x+b_2y+c_2 \\ a_3x+b_3y+c_3 \end{cases}$
で囲まれる三角形の面積は
$\dfrac{\left\{\mbox{det}\,\begin{pmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{pmatrix}\right\}^2}{2 \left|\mbox{det}\,\begin{pmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{pmatrix}\mbox{det}\,\begin{pmatrix} a_2 & b_2 \\ a_3 & b_3 \end{pmatrix}\mbox{det}\,\begin{pmatrix} a_3 & b_3 \\ a_1 & b_1 \end{pmatrix}\right|}$
となる．

作者:穂刈四三二
共立出版

で知った気がするので確認しようと思ったが見当らないのでそのうち確認しておこう．受験数学的にはこれよりも

　（3直線によって囲まれてできる三角形の面積の公式）
$\begin{cases} y=m_1x+n_1 \\ y=m_2x+n_2 \\ y=m_3x+n_3 \end{cases}$
で囲まれる三角形の面積は
$\dfrac{\left\{\mbox{det}\,\begin{pmatrix} m_1 & n_1 \\ m_2 & n_2 \end{pmatrix}+\mbox{det}\,\begin{pmatrix} m_2 & n_2 \\ m_3 & n_3 \end{pmatrix}+\mbox{det}\,\begin{pmatrix} m_3 & n_3 \\ m_1 & n_1 \end{pmatrix}\right\}^2}{2 \left|(m_1-m_2)(m_2-m_3)(m_3-m_1)\right|}$
となる．

の方が使い勝手が良さそうだ．さらに，カヴァリエリの原理と組合せることができるので，

　（2直線と $x$ 軸によって囲まれてできる三角形の面積の公式）
$x$ 軸と $\begin{cases} y=m_1x+n_1 \\ y=m_2x+n_2 \end{cases}$ で囲まれる三角形の面積は $\dfrac{\left\{\mbox{det}\,\begin{pmatrix} m_1 & n_1 \\ m_2 & n_2 \end{pmatrix}\right\}^2}{2 \left|m_1m_2(m_1-m_2)\right|}$ となる．

とすれば非常に使い勝手が良い．

2026.03.29追記
2直線と $x$ 軸によって囲まれてできる三角形の面積については，3交点が
$\left(-\dfrac{n_1}{m_1}，0\right)$ ， $\left(-\dfrac{n_2}{m_2}，0\right)$ ， $\left(\ast，\dfrac{m_1n_2-m_2n_1}{m_1-m_2}\right)$
（3つめは $x$ を消去して $y$ 座標のみを求めた）となることから
$\dfrac{1}{2}\cdot\left|\dfrac{n_1}{m_1}-\dfrac{n_2}{m_2}\right|\cdot \left|\dfrac{m_1n_2-m_2n_1}{m_1-m_2}\right|$ $=\dfrac{(m_1n_2-m_2n_1)^2}{2\left|m_1m_2(m_1-m_2)\right|}$
と導くこともできる．