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1967年(昭和42年)京都大学-数学(理系)旧課程[5] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR から考えてみた．

(1) $\triangle\mbox{ABC}$ において半直線 $\mbox{AB}$ ， $\mbox{AC}$ 上に $2$ 点 $\mbox{P}$ ， $\mbox{Q}$ を $\mbox{AP}=\mbox{AQ}$ となるようにとる． $\triangle\mbox{APQ}$ の面積が $\triangle\mbox{ABC}$ の面積 $S$ に等しいとき，線分 $\mbox{AP}=p$ ， $\mbox{PQ}=2u$ の長さを $a$ ， $b$ ， $c$ で表せ．ただし $\mbox{BC}$ ， $\mbox{CA}$ ， $\mbox{AB}$ の長さをそれぞれ $a$ ， $b$ ， $c$ とする．

(2) $S$ を $p，u$ で表し，その結果を利用して $S$ を $a，b，c$ で表せ．

[解答]
(1) $\triangle\mbox{ABC}=\triangle\mbox{APQ}$ により $p^2=bc$ であるから余弦定理により $\mbox{PQ}^2=p^2+p^2-2p\cdot p \cos A=2p^2(1-\cos A)=2bc\cdot\dfrac{2bc-(b^2+c^2-a^2)}{2bc}$ $=a^2-(b-c)^2$ $=(a+b-c)(c+a-b)$ となるので，
$\mbox{PQ}=\sqrt{(a+b-c)(c+a-b)}$ となる．

(2) $s=\dfrac{a+b+c}{2}$ とおくと $2u=\sqrt{(2s-2c)(2s-2b)}=2\sqrt{(s-b)(s-c)}$ だから $u=\sqrt{(s-b)(s-c)}$ である．

ここで $\triangle\mbox{APQ}$ は底辺 $2u$ ，高さが $\sqrt{p^2-u^2}$ であるから $S=u\sqrt{p^2-u^2}$ が成立する．

いま $p^2-u^2=bc-(s-b)(s-c)=s(b+c-s)=s(s-a)$ であるから
$S=\sqrt{(s-b)(s-c)}\cdot\sqrt{s(s-a)}=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$
となる．

この証明はあまり知られていないように思う（自分は聞いたことがない）．この証明は内接円と傍接円を利用する方法よりも機械的であり，
$S=\dfrac{bc}{2}\sin A$ $=\dfrac{bc}{2}\sqrt{1-\cos^2 A}$ $=\dfrac{bc}{2}\sqrt{1-\left(\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\right)^2}$ $=\dfrac{1}{4}\sqrt{(2bc)^2-(b^2+c^2-a^2)^2}$ $=\dfrac{1}{4}\sqrt{\{(b+c)^2-a^2\}\{a^2-(b-c)^2\}}$ $=\dfrac{1}{4}\sqrt{(a+b+c)(b+c-a)(a+b-c)(a+c-b)}$ $=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$
よりも少し面白い．

ところでこの，底辺が $2\sqrt{(s-b)(s-c)}$ ，高さが $\sqrt{s(s-a)}$ になるのって意外と美しいよね．