https://spherical-harmonics.hatenablog.com/entry/2026/02/09/155415

数値自体は思いつくんですが証明が大変！助けを得ながらなんとかかけました
ありがとうございました！ https://t.co/aYKF3J3ugc #Peing #質問箱
— 数学鉄騎農法/たくろう (@tekkinoho) 2026年2月1日

懐かしそす．高3のときに習った

（数十年前のK塾冬期講習会東大理類数学テスト）と同じ問題．

[解答]
(1) 任意の自然数 $n$ について $n\cdot 1\lt n+1$ であるから， $1$ を含まない．任意の自然数 $n$ について $n+4 -2\cdot (n+2)=-n\lt 0$ であるから， $5$ 以上の自然数を含まない．

(2) $4=2\times 2$ であるから全ての $4$ を $2\cdot 2$ としても値は変わらないので，全てが $2$ または $3$ の積となるが， $2\cdot 2\cdot 2\leqq 3\cdot 3$ であるから， $2$ が含まれる個数は $2$ 以下となる．

よって $n=3u$ （ $u=1，2，…$ ）のとき $P_M(n)=3^u=3^{\frac{n}{3}}$ ，
$n=3u-1$ （ $u=1，2，…$ ）のとき $P_M(n)=2\cdot 3^{u-1}=2\cdot 3^{\frac{n-2}{3}}$ ，
$n=3u-2$ （ $u=1，2，…$ ）のとき $P_M(n)=2^2\cdot 3^{u-2}=2^2\cdot 3^{\frac{n-4}{3}}$
となる．

$n=2026=3\cdot 676-2$ であるから $P_M(2026)=2^2\cdot 3^{674}$ となる．

これを一般化する流れでネイピア数 $e$ が登場するという話については，類題として

(1) $n$ 個の正数の AM-GM 不等式の証明

(2) $A_n=\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n$ が単調増加であることを示せ．ただし $n$ は自然数．

但し，加える水の総量を $10 l$ とする．

も習った．

[解答]
(3) $x_0=100$ ， $x_{k+1}=x_k\cdot\dfrac{10}{10+a_k}$ であるから， $b_k=\dfrac{a_k}{10}$ として
$x_n=\dfrac{100}{(1+b_1)\cdots (1+b_n)}\geqq\dfrac{100}{\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n}$
が AM-GM 不等式により成立し，等号成立は $a_1=a_2=\cdots=a_n$ となる場合である．

よって等量ずつ水を加えて薄めるのが最適となる．

この右辺は $n$ が大きければ大きい程小さくなるので，なるべく多くの回数に分け，等量ずつ水を加えて薄めるのが最適となる．そして， $x_n\gt \dfrac{100}{e}$ となるので， $10l$ の水溶液に総量 $10l$ の水を加えて問題文のように希釈することを考えた場合，どうがんばっても濃度は $\dfrac{1}{e}$ 以下にはできないことがわかる．

それはともかく， $N$ を $n$ 個の正数に分割（ $a_1+\cdots +a_n=N$ ）してその積を最大にすることを考えるとき， $n$ を固定すると AM-GM 不等式から $\dfrac{N^n}{n^n}$ が最大となるので，
$f(n)=n\log N-n\log n$ が最大となる $n$ を探せば良く，
$f'(n)=\log N-\log n-1=0$ から $n=\dfrac{N}{e}$ で極大かつ最大となるので，
$n=\left[\dfrac{N}{e}\right]，\left[\dfrac{N}{e}\right]+1$ のいずれかにおいて最大となる．

$N=2026$ のとき， $\dfrac{2026}{e}=745.3…$ であるから
$P=\dfrac{2026^{745}}{745^{745}}$ と $Q=\dfrac{2026^{746}}{746^{746}}$ と比べて大きい方が答えとなる．これは手計算では難しく， $\log P-\log Q\approx \dfrac{1}{10000}$ 程度の差しかない．

$\dfrac{P}{Q}=\dfrac{746}{2026}\cdot\left(1+\dfrac{1}{745}\right)^{745}$ において
$\dfrac{746}{2026}$ は $\dfrac{1}{e}$ より少し大きく， $\left(1+\dfrac{1}{745}\right)^{745}$ は $e$ より少し小さいので $\dfrac{P}{Q}$ が $1$ より大きいか小さいかは簡単にはわからないのである（ $\dfrac{P}{Q}\approx e^{0.0001}\approx 1.0001$ ）．

ちょっと興味があって，和を「正の整数」ではなくて「正の有理数」にして計算してみたところ，2026を745個の2026/745の和の時，積が最大となるようです。
2026/745=2.719 で実はネイピア数e に近いところで積が最大となります。整数であれば，eに近い3を多く使うところなのですね。 https://t.co/OBanbpW810
— 清水　団 Dan Shimizu (@dannchu) 2026年2月5日

正の実数としても，AM-GM で全てが等しいときに最大となるので正の有理数になります．