https://spherical-harmonics.hatenablog.com/entry/2026/01/21/101152

データ分析において，色々話すときに「最大値と最小値の平均」は割りと用いるのだが，それに名前がついていることを半年ほど前に知った．「中点値(midrange)」と呼ぶらしい．この名前は日本の統計学の本のほとんどに載っていない（自分調べ）．

データ $x_1，…，x_n$ に対して，平均値は $L_2(a)=\dfrac{1}{n}\displaystyle\sum_{i=1}^n |x_i-a|^2$ を最小にする $a$ ，中央値は $L_1(a)=\dfrac{1}{n}\displaystyle\sum_{i=1}^n |x_i-a|$ を最小にする $a$ ，最頻値は $L_0(a)=\dfrac{1}{n}\displaystyle\sum_{i=1}^n |x_i-a|^0$ （ここでは $0^0=0$ とする）を最小にする $a$ として特徴付けられる．ただし最頻値に関しては，各 $x_i$ は一般に異なることが多く，このままでは最頻値を与える $a$ の値が非常に多くなる（ $x_i$ が全て異なる場合は， $a$ が $n$ 個得られる）ので，データを階級 $C_1，…，C_K$ （階級値 $c_1，…，c_k$ ）でグループ分けを行い，同じ階級に属するデータを全てその階級値と見做すことによって $a$ の値を絞ることが行わる．つまり $L_0(a)=\dfrac{1}{n}\displaystyle\sum_{k=1}^K \# C_k |c_k-a|^0$ の最小化によって最頻値を特徴付ける．

データの数を∞にして，階級幅を0に近づける極限において，この最小化が「極大値」に対応するかどうかについては，そのうち考えよう．

ともかく，三つの代表値「平均値（最小二乗基準），中央値（最小絶対偏差基準），最頻値」は高校の統計で学ぶけれど，それ以外に「中点値（チェビシェフ基準，または min-max 基準）」という代表値は日本の統計学の本にはほとんど載っていない．これは $L_{\infty}(a)=\max\{ |x_1-a|，…，|x_n-a|\}$ を最小にする $a$ として特徴付けられ， $L_{\infty}(a)$ を最小にする $a$ は最大値 $M=\max\{ x_1，…，x_n\}$ と最小値 $m=\min\{ x_1，…，x_n\}$ の平均（中点） $\dfrac{M+m}{2}$ になる．そしてその最小値は $\dfrac{M-m}{2}$ となる．

分布が左に偏っている場合， $L_k(a)$ （ $k\geqq 0$ ）を最小にする $a$ は $k$ について単調増加であるから，小さい順番に最頻値，中央値，平均値，中点値となり，同様に分布が右に偏っている場合，大きい順番に最頻値，中央値，平均値，中点値となる．

なお， $L_{\infty}(a)$ と添字が $\infty$ となっているのは
$\displaystyle\lim_{K\to\infty}\left(\sum_{k=1}^K |x_i|^k\right)^{\tfrac{1}{K}}=\max\{ |x_1|，…，|x_n|\}$
が成立することに由来する．