https://spherical-harmonics.hatenablog.com/entry/2025/12/01/124532

(多項式)× $\log x$ で瞬間部分積分法（ここでは現在の意味での瞬間部分積分法）が使えないという話，そもそも多項式は有限回の微分で消えることがポイントなので， $\log x$ は何度微分しても消えないのですから， $\log x$ の方を微分しても終らないのは当然です．多項式の方を微分すれば

$\displaystyle\int x\log x\, dx$ $=x(x\log x-x)-1\cdot\left(\dfrac{x^2}{2}\log x-\dfrac{x^2}{4}-\dfrac{x^2}{2}\right)$ $=\dfrac{x^2}{2}\log x-\dfrac{x^2}{4}$

（積分定数は省略）のように有限回で終わります．もちろん $x\log x$ の積分に $x\log x$ の積分を使っているので，無意味な変形です．ただ，
$I=\displaystyle\int x\log x\, dx$ $=x(x\log x-x)-I+\dfrac{x^2}{2}+(積分定数)=x^2\log x -\dfrac{x^2}{2} -I+(積分定数)$
から $I=\dfrac{x^2}{2}\log x -\dfrac{x^2}{4}+(積分定数)$ と求めることができることには注意しておきましょう．

なお，[別館]では基本的に $（xの多項式）\times（(\log x)の多項式）$ の積分は $x=e^t$ と置換して
$（e^tの多項式）\times（t の多項式）$ の積分に帰着させて解くようにしています．