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[2] 実数を係数とする $4$ 次方程式 $x^4+ax^3+bx^2+ax+1=0$ の解 $\alpha，\beta，\gamma，\delta$ のうち $\alpha，\beta$ は虚数， $\gamma，\delta$ は実数であるとする．

(1) $|\alpha|$ を求めよ．

(2) $\alpha，\beta，\gamma，\delta$ が複素数平面上の同一円周上にあるような点 $(a，b)$ の存在する範囲を $ab$ 平面に図示せよ．

2000年(平成12年)慶應義塾大学理工学部-数学[B2] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR や 2019年(平成31年)東京大学-数学(理科)[6] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR を思い出す．慶應の問題から相反方程式に着目すれば $\alpha，\beta$ は共役複素数かつ逆数であることがわかるので $|\alpha|=1$ となる．

[解答]
(1) 実数係数の4次方程式の虚数解が $\alpha$ と $\beta$ であるから，これらは互いに共役複素数となる．つまり $\beta=\overline{\alpha}$ である．

ここで
$x^2+ax+b+\dfrac{a}{x}+\dfrac{1}{x^2}=\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^2+a\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^2+b-2=0$
が成立するので， $x$ が4次方程式の解であるならば， $\dfrac{1}{x}$ も4次方程式の解となるので虚数解に対してその逆数も虚数解となる．つまり $\beta=\dfrac{1}{\alpha}$ である．

よって $\overline{\alpha}=\dfrac{1}{\alpha}$ となり， $|\alpha|=1$ となる．

(2) $x$ が4次方程式の解であるならば， $\dfrac{1}{x}$ も4次方程式の解となるので実数解に対してその逆数も実数解となる．つまり $\delta=\dfrac{1}{\gamma}$ が成立する．よって
$\alpha=\cos\theta+i\sin\theta$ ， $\beta=\cos\theta-i\sin\theta$ ， $\gamma$ ， $\delta=\dfrac{1}{\gamma}$
（ $\gamma\neq 0$ ， $\sin\theta\neq 0$ ）が複素数平面上で同一円周上にあるような $(a，b)$ の条件を考えれば良い．

ここで解と係数の関係から $a=-\left(2\cos\theta+\gamma+\dfrac{1}{\gamma}\right)$ …①， $b=2\left(\gamma+\dfrac{1}{\gamma}\right)\cos\theta+2$ …②である．

(i) $\gamma=\delta$ のとき
$\alpha=\cos\theta+i\sin\theta$ ， $\beta=\cos\theta-i\sin\theta$ ， $\gamma$
が三角形をなせば良く， $\cos\theta\neq \pm 1$ であるから $\gamma=\pm 1$ であれば良い．よって

(a) $\gamma=1$ のとき：
解と係数の関係から $a=-\left(2\cos\theta+\gamma+\dfrac{1}{\gamma}\right)$ $=-2\cos\theta-2$ ，
$b=2\left(\gamma+\dfrac{1}{\gamma}\right)\cos\theta+2$ $=4\cos\theta+2$ $=-2a-2$ （ $-4\lt a\lt 0$ ）

(b) $\gamma=-1$ のとき：
解と係数の関係から $a=-\left(2\cos\theta+\gamma+\dfrac{1}{\gamma}\right)$ $=-2\cos\theta+2$ ，
$b=2\left(\gamma+\dfrac{1}{\gamma}\right)\cos\theta+2$ $=-4\cos\theta+2$ $=2a-2$ （ $0\lt a\lt 4$ ）

となる．

(ii) $\gamma\neq\delta$ のとき
方羃の定理により $(\gamma-\cos\theta)\left(\cos\theta-\dfrac{1}{\gamma}\right)=\sin^2\theta$ ，つまり
$\left(\gamma+\dfrac{1}{\gamma}\right)\cos\theta=2$ （ $\gamma\neq 0$ ， $\sin\theta\neq 0$ ）
となることが必要十分条件となる．

解と係数の関係から $a=-\left(2\cos\theta+\gamma+\dfrac{1}{\gamma}\right)$ ， $b=6$ となる．ここで $X=2\cos\theta$ ， $Y=\gamma+\dfrac{1}{\gamma}$ とおくと $|X|\lt 2$ ， $|Y|\gt 2$ ， $XY=4$ が成立するので $XY$ 平面で $XY=4$ の $|X|\lt 2$ （， $|Y|\gt 2$ ）を満たす部分と $X+Y=-a$ が共有点を持つ範囲を求めることにより， $|a|\gt 4$ を満たすすべての $a$ をとり得る．つまり $b=6$ （ $|a|\gt 4$ ）となる．

以上から
・半直線 $b=6$ ， $a\lt -4$ ，
・線分 $b=-2a-2$ ， $-4\lt a\lt 0$ ，
・線分 $b=2a-2$ ， $0\lt a\lt 4$ ，
・半直線 $b=6$ ， $a\gt 4$
を合わせたものである（折れ線の折れる部分は全て除かれていることに注意）．

折れ線の折れる部分について， $(\pm 4，6)$ はもとの方程式が $(x\pm 1)^4=0$ となり4点が一致し， $(0，-2)$ はもとの方程式が $(x+1)^2(x-1)^2=0$ となり2点ずつが一致する．いずれも $\alpha，\beta$ が実数に近づいた極限となっている．

複素数平面上の異なる4点 $\alpha，\beta，\gamma，\delta$ が同一円周上である条件は例えば $\dfrac{(\beta-\gamma)(\alpha-\delta)}{(\alpha-\gamma)(\beta-\delta)}$ が実数となることを用いると $\dfrac{(\overline{\alpha}-\gamma)(\alpha-1/\gamma)}{(\alpha-\gamma)(\overline{\alpha}-1/\gamma)}$ $=\dfrac{2-\alpha\gamma-\overline{\alpha}/\gamma}{2-\overline{\alpha}\gamma-\alpha/\gamma}$ が実数となり， $1$ を引いた $\dfrac{(\alpha-\overline{\alpha})(\gamma-1/\gamma)}{2-\overline{\alpha}\gamma-\alpha/\gamma}$ が実数であることから $2-\overline{\alpha}\gamma-\alpha/\gamma$ が純虚数となる．よって $\alpha=\cos\theta+i\sin\theta$ とおくと $2-\overline{\alpha}\gamma-\alpha/\gamma$ の実部が $0$ となることから $\left(\gamma+\dfrac{1}{\gamma}\right)\cos\theta=2$ が成立する．