https://spherical-harmonics.hatenablog.com/entry/2025/11/04/082628

おーこれは知りませんでした！ https://t.co/5VtHhZihUj
— 林俊介 (@884_96) 2025年11月3日

$\cos\left(\theta-\dfrac{\pi}{3}\right)\cos \theta \cos\left(\theta+\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{\cos 3\theta}{4}$

の変形については 2024年(令和6年)防衛医科大学校医学科-数学[5](数字) - [別館]球面倶楽部零八式markIISR に書いたように

$\cos\left(\theta-\dfrac{\pi}{3}\right)\cos \theta \cos\left(\theta+\dfrac{\pi}{3}\right)$ $=\cos\theta\sin\left(\dfrac{\pi}{6}+\theta\right)\sin\left(\dfrac{\pi}{6}-\theta\right)$ $=\cos\theta\left(\sin^2\dfrac{\pi}{6}-\sin^2\theta\right)$ $=\cos\theta\left(\cos^2\theta-\cos^2\dfrac{\pi}{6}\right)$ $=\cos\theta\left(\cos^2\theta-\dfrac{3}{4}\right)$ $=\dfrac{4\cos^3\theta-3\cos\theta}{4}$ $=\dfrac{\cos 3\theta}{4}$
となって，正弦の和と差の積が平方の差を使う問題になっているというオチ．

もちろんコメントにある $x=\cos t$ とおいた
$4x^3-3x-\cos 3\theta =0$
の解が $\cos 3t=\cos 3\theta$ となることから
$x=\cos\left(\theta-\dfrac{2\pi}{3}\right)，\cos \theta，\cos\left(\theta+\dfrac{2\pi}{3}\right)$
となり，解と係数の関係から
$\cos\left(\theta-\dfrac{2\pi}{3}\right)\cos \theta\cos\left(\theta+\dfrac{2\pi}{3}\right)=\dfrac{\cos3\theta}{4}$
を導いて $\cos\left(\theta-\dfrac{2\pi}{3}\right)=-\cos\left(\theta+\dfrac{\pi}{3}\right)$ ， $\cos\left(\theta+\dfrac{2\pi}{3}\right)=-\cos\left(\theta-\dfrac{\pi}{3}\right)$ から
$\cos\left(\theta-\dfrac{\pi}{3}\right)\cos \theta \cos\left(\theta+\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{\cos 3\theta}{4}$
を導く方が
$\cos\left(\theta-\dfrac{4\pi}{5}\right)\cos\left(\theta-\dfrac{2\pi}{5}\right)\cos \theta\cos\left(\theta+\dfrac{2\pi}{5}\right)\cos\left(\theta+\dfrac{4\pi}{5}\right)$ $=\dfrac{\cos5\theta}{16}$
などの結果を導くのに汎用性があるのだが．なおこの結果は 1996年(平成8年)京都大学後期-数学(文系)[1] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR と関係があり，
$\cos\left(\theta-\dfrac{4\pi}{5}\right)\cos\left(\theta-\dfrac{2\pi}{5}\right)\cos\left(\theta+\dfrac{2\pi}{5}\right)\cos\left(\theta+\dfrac{4\pi}{5}\right)$ $=\dfrac{\cos5\theta}{16\cos \theta}$ $=\dfrac{\sin5(\pi/2-\theta)}{16\sin(\pi/2-\theta)}$
で $\theta\to\dfrac{\pi}{2}$ とすると
$\cos\dfrac{\pi}{10}\cos\dfrac{3\pi}{10}\cos\dfrac{7\pi}{10}\cos\dfrac{9\pi}{10}=\dfrac{5}{16}$
を導くことができる．

元々の、正弦の和と差の積については
正弦の和と差の積 - 球面倶楽部零八式 mark II
を参照．