https://spherical-harmonics.hatenablog.com/entry/2025/10/19/185749

画像の問題（2021京大理系前期）、y=log(1+cos(x))(0≦x≦π/2)の弧長が求まる、と言う事実は、個人的にはとても感動的です。この関数の背景って、何かありますか？
この関数のフーリエ級数展開が
　-log(2)+2Σ_{n=1～∞}(-1)^{n-1}cos(nx)/n
と綺麗になることは分かったのですが（関係無さそう）。 pic.twitter.com/5ZJooTw5Zn
— 大澤裕一 (@HirokazuOHSAWA) 2025年10月19日

リプライ的なところにも書いてあるけど $y=f(x)$ の弧長が求まりそうということは
$\sqrt{1+\{f'(x)\}}$ の積分が計算できることで，ルートが外れて $g(x)$ になるならば
$\{g(x)\}^2+\{f'(x)\}^2=1$
となってくれれば嬉しいので $(g(x)，f'(x))$ が $X^2-Y^2=1$ のパラメータ表示になっていれば嬉しい．

そこで sec-tan を考えて $f'(x)=\tan\dfrac{x}{2}$ としたら $f(x)=\log(1+\cos x)$ が得られた，という感じになる．