https://spherical-harmonics.hatenablog.com/entry/2025/10/13/225004

2006年(平成18年)京都大学後期-数学(理系)[4] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR に書いた．抜粋して少し書き換えたものを載せておく．

su-hai.hatenablog.com
に Johnson の定理と反転を利用した面白い証明があります（この web page ではオイラーの不等式にしか言及していないが少し変更するとオイラーの定理の証明になる）．

以下，文字は少し変えています．

$\triangle\mbox{ABC}$ の外接円を $C_{\rm O}$ ，外心を $\mbox{O}$ ，外接円の半径を $R$ とし， $\triangle\mbox{ABC}$ の内接円を $C_{\rm I}$ ，内心を $\mbox{I}$ ，内接円の半径を $r$ ， $C_{\rm I}$ と $\mbox{AB}$ ， $\mbox{BC}$ ， $\mbox{CA}$ それぞれとの接点をそれぞれ $\mbox{X}$ ， $\mbox{Y}$ ， $\mbox{Z}$ とし， $\mbox{IX}$ ， $\mbox{IY}$ ， $\mbox{IZ}$ を直径とする円を $C_{\rm X}$ ， $C_{\rm Y}$ ， $C_{\rm Z}$ とすると，これらは半径が $\dfrac{r}{2}$ の円である．

円 $C_{\rm I}$ に関する反転を $f$ とすると
$f(直線\mbox{AB})=C_{\rm X}$ ， $f(直線\mbox{BC})=C_{\rm Y}$ ， $f(直線\mbox{AB})=C_{\rm Z}$
であるから，円 $C_{\rm Z}$ と円 $C_{\rm X}$ の $\mbox{I}$ でない交点を $\mbox{P}$ ，円 $C_{\rm X}$ と円 $C_{\rm Y}$ の $\mbox{I}$ でない交点を $\mbox{Q}$ ，円 $C_{\rm Y}$ と円 $C_{\rm Z}$ の $\mbox{I}$ でない交点を $\mbox{R}$ とすると
$f(\mbox{A})=\mbox{P}$ ， $f(\mbox{B})=\mbox{Q}$ ， $f(\mbox{C})=\mbox{R}$
が成立する．よって $\mbox{P}$ ， $\mbox{Q}$ ， $\mbox{R}$ を通る円とその中心を $C_{\rm J}$ ， $\mbox{J}$ とおくと，
$f(C_{\rm O})=C_{\rm J}$
が成立し，よって
$f(C_{\rm J})=C_{\rm O}$
も成立する．ここで Johnson の定理により円 $C_{\rm J}$ の半径は $\dfrac{r}{2}$ である．

直線 $\mbox{IO}$ と $C_{\rm O}$ と $C_{\rm J}$ の交点を考えることにより
$r=\dfrac{r^2}{R-\mbox{IO}}+\dfrac{r^2}{R+\mbox{IO}}$ $=\dfrac{2Rr^2}{R^2-\mbox{IO}^2}$ ，
つまり $\mbox{IO}^2=R^2-2Rr$ が成立する．

2円に対するポンスレの閉形定理(三角形の場合)の反転を利用した証明 - 球面倶楽部零八式 mark II も一応参照しておきます．