https://spherical-harmonics.hatenablog.com/entry/2025/07/11/162603

LogSumExp - Wikipedia

$\mbox{LSE}(x_1，\ldots，x_n)$ $:=\log(\exp(x_1)+\cdots+\exp(x_n))$
は
$\mbox{LSE}(x_1，\ldots，x_n)-\log n$ $:=\log\dfrac{\exp(x_1)+\cdots+\exp(x_n)}{n}$
と表すことができ，
$\min\{x_1，\ldots，x_n\}\leqq \mbox{LSE}(x_1，\ldots，x_n)-\log n$ $\leqq \max\{x_1，\ldots，x_n\}$
が成立する．また，
$\mbox{LSE}(x_1，\ldots，x_n)$ $\geqq \log(\exp(\max\{x_1，\ldots，x_n\}))$
$=\max\{x_1，\ldots，x_n\}$
も成立する．
$\max\{x_1，\ldots，x_n\}$ $\leqq \mbox{LSE}(x_1，\ldots，x_n)$ $\leqq \max\{x_1，\ldots，x_n\}+\log n$
で， $x_i\mapsto tx_i$ とすると
$\max\{x_1，\ldots，x_n\}$ $\leqq \dfrac{1}{t}\mbox{LSE}(x_1，\ldots，x_n)$ $\leqq \max\{x_1，\ldots，x_n\}+\dfrac{\log n}{t}$
が成立する．

他にも
$\mbox{LSE}(x_1+c，\ldots，x_n+c)$
$=\mbox{LSE}(x_1，\ldots，x_n)+c$
や
$\dfrac{\partial}{\partial x_k}\mbox{LSE}(x_1，\ldots，x_n)$
$=\dfrac{\exp(x_k)}{\exp(x_1)+\cdots+\exp(x_n)}$
（softmax）
が成立する．

他にも Jensen の不等式から
$\dfrac{x_1+\cdots+x_n}{n}\leqq \mbox{LSE}(x_1，\ldots，x_n)-\log n$
も成立する．これから
$\dfrac{x_1+\cdots+x_n}{n}+\log n\leqq \mbox{LSE}(x_1，\ldots，x_n)$ ，
$\max\{x_1，\ldots，x_n\}$ $\leqq \mbox{LSE}(x_1，\ldots，x_n)$
の両方が成立する．そして
$\max\{x_1，\ldots，x_n\}\to+\infty$ で $\mbox{LSE}(x_1，\ldots，x_n)-\max\{x_1，\ldots，x_n\}\to 0$ ,
$\max\{x_1，\ldots，x_n\}\to\min\{x_1，\ldots，x_n\}$ で $\mbox{LSE}(x_1，\ldots，x_n)\to\dfrac{x_1+\cdots+x_n}{n}+\log n$ $=x_1+\log n$
が成立する．

この観点からすると,
2025年(令和7年)東京大学-数学(理科)[2] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR
において $\max\{x_1，\ldots，x_n\}\to\min\{x_1，\ldots，x_n\}$ の場合に相等するので，LogSumExp で語られる
$\max\{x_1，\ldots，x_n\}$ $\leqq \mbox{LSE}(x_1，\ldots，x_n)$
の評価は不適切で
$\dfrac{x_1+\cdots+x_n}{n}+\log n\leqq \mbox{LSE}(x_1，\ldots，x_n)$
の評価，つまり
$\dfrac{x_1+x_2}{2}\leqq \log\dfrac{\exp(x_1)+\exp(x_2)}{2}$
の評価を用いるのが適切となる．右側の評価は
$\log\dfrac{\exp(x_1)+\exp(x_2)}{2}$ $\leqq\dfrac{\exp(x_1)+\exp(x_2)-2}{2}$ ，
$\log\dfrac{\exp(x_1)+\exp(x_2)}{2}$ $=\max\{x_1，x_2\}$
などが考えられる．