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2025-07-09

フロベニウスノルムの劣乗法性質

数学

実行列 $A$ に対して $||A||_F=\sqrt{\mbox{tr}(A^{\top}A)}$ によってフロベニウスノルムが定義される(実行列でなくても定義することができるが，ここでは実行列の話に限定する)．

$A，B$ を $n$ 次正方行列とするとき
$||AB||_F\leqq ||A||_F\,||B||_F$
が成立し，これを劣乗法性という．

[証明]
$A^{\top}=(a_1,\ldots,a_n)$ ， $B=(b_1,\ldots,b_n)$ （ $a_i,b_j$ は列ベクトル）とおくとシュワルツの不等式により
$||AB||_F=\displaystyle \sum_i\sum_j (a_i^{\top} b_j)^2$ $\leqq \displaystyle \sum_i\sum_j |a_i|^2 |b_j|^2$ $=||A||_F\,||B||_F$

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