https://spherical-harmonics.hatenablog.com/entry/2025/06/20/203754

これ、とても良い問題ですね。
「多変数の不等式の証明」の手法を色々確認できるし、背景や拡張を考えるもの面白いです（n変数の相加平均・相乗平均の不等式の「普通の帰納法（微分を使わない）」による証明の補題として使える）。
受験生の皆さん、ぜひ解いてみてください！色々遊べる1問です。 pic.twitter.com/mfIFRvdxnA
— 大澤裕一 (@HirokazuOHSAWA) 2025年6月19日

別館で京大の解答はまだ2010年ぐらいまでなので、1978年にいくのはいつの頃やら。

高校生のときに一般の $n$ の場合についてベルヌーイの不等式を用いた証明を習ったが

（続き）(2) を追加したのは，一般化可能であることを示唆するため．
(2) について，下掲のカッコイイ解答は1991年の受講生M君による．
私には全く想定外だった．
n, n+1 個の場合にも自然に拡張される．
※上記問題文最後の但し書きは，これらを用いて(1),(2)を解決する手短な方法があるため． pic.twitter.com/cNSpoYtUTu
— 転蓬 (@HDUzaJR8Mv26684) 2025年6月20日

とまぁ似た解答．

2025.06.21追記
ベルヌーイの不等式を用いた証明を誰かが挙げていた．高校のときに習ったのは

これをn変数に一般化したものは Rado の不等式と呼ばれる。一方，相加平均と相乗平均の誤差を差 A-G ではなく比 A/G でとらえたものが，これの“双対”にあたるような不等式である Popoviciu の不等式となる。いずれも微分なしで証明可能。 https://t.co/Rb2Bx6RNPW pic.twitter.com/RVDRbIIAmw
— Yusuke Terada (@doraTeX) 2025年6月20日

の Rado の不等式．漁っていたら

も見つけた．

2025.07.03追記
高校生のときに習った一般の $n$ の場合についてベルヌーイの不等式を用いた証明を発掘した．

（ $B_{\ast}$ が相乗平均）

$A_n=\dfrac{n-1}{n}A_{n-1}+\dfrac{a_n}{n}$
$=\dfrac{n-1}{n}A_{n-1}+\dfrac{1}{n}\cdot \dfrac{G_n^n}{G_{n-1}^{n-1}}$
$=\dfrac{n-1}{n}A_{n-1}+\dfrac{G_{n-1}}{n}\cdot \left(\dfrac{G_n}{G_{n-1}}\right)^n$
$\geqq\dfrac{n-1}{n}A_{n-1}+\dfrac{G_{n-1}}{n}\cdot \left(n\dfrac{G_n}{G_{n-1}}-(n-1)\right)$ （∵ベルヌーイの不等式）
$=\dfrac{n-1}{n}A_{n-1}+G_n-\dfrac{n-1}{n}G_{n-1}$
より $n(A_n-G_n)\geqq(n-1)(A_{n-1}-G_{n-1})$ が成立する．

というものだった．やっぱり本質的に同じ解法，つまり $a_n=\dfrac{G_n^n}{G_{n-1}^{n-1}}$ と変形してベルヌーイの不等式を用いる解法だった．