https://spherical-harmonics.hatenablog.com/entry/2025/06/19/152645

のつづき．分散の第3の表現の証明について，ラグランジュの恒等式を用いたが，分散がデータの平行移動について不変であることを利用すると秒で証明できる．

データを $x_j$ だけ平行移動しても分散は不変なので，分散公式から
$v_x=\dfrac{1}{n}\displaystyle\sum_{i=1}^n(x_i-x_j)^2-(\overline{x}-x_j)^2$ $=\dfrac{1}{n}\displaystyle\sum_{i=1}^n(x_i-x_j)^2-(x_j-\overline{x})^2$
で $j=1，…，n$ として加えて平均をとると
$v_x=\dfrac{1}{n^2}\displaystyle\sum_{j=1}^n\displaystyle\sum_{i=1}^n(x_i-x_j)^2-v_x$
から
$v_x=\dfrac{1}{2n^2}\displaystyle\sum_{j=1}^n\displaystyle\sum_{i=1}^n(x_i-x_j)^2$ $=\dfrac{1}{n^2}\displaystyle\sum_{1\leqq i\lt j\leqq n} (x_i-x_j)^2$
が成立する．（証明終）

同じように
$v_y=\dfrac{1}{n^2}\displaystyle\sum_{1\leqq i\lt j\leqq n} (y_i-y_j)^2$ ， $v_z=\dfrac{1}{n^2}\displaystyle\sum_{1\leqq i\lt j\leqq n} (z_i-z_j)^2$
が成立するので
$\dfrac{1}{n}\displaystyle\sum_{i=1}^n ||\textbf{x}_i-\textbf{g}||^2$ $=v_x+v_y+v_z$ $=\dfrac{1}{n^2}\displaystyle\sum_{1\leqq i\lt j\leqq n} \{(x_i-x_j)^2+(y_i-y_j)^2+(z_i-z_j)^2$ $=\dfrac{1}{n^2}\displaystyle\sum_{1\leqq i\lt j\leqq n} ||\textbf{x}_i-\textbf{x}_j||^2$
が成立する．