https://spherical-harmonics.hatenablog.com/entry/2025/05/04/122634

放物線 $y=ax^2$ を原点中心に $\dfrac{a}{b}$ 倍拡大すると $X=\dfrac{a}{b}x$ ， $Y=\dfrac{a}{b}y$ から
$\dfrac{b}{a}Y=a\cdot \dfrac{b^2}{a^2}X^2$ ，つまり $Y=bX^2$ となるので $y=ax^2$ と $y=bx^2$ は相似で相似比は $\dfrac{1}{a}:\dfrac{1}{b}$ となる．よってこれらを平行移動して得られる2つの放物線 $y=a(x-p)^2+q$ と $y=b(x-s)^2+t$ は相似である．

相似の中心は頂点を $-b:a$ に分かつ点（ $a，b$ が同符号の場合は外分，異符号のときは内分） $\left(\dfrac{ap-bs}{a-b}，\dfrac{aq-bt}{a-b}\right)$ である．但し $a=b$ の場合， $p=s$ かつ $q=t$ （2つの放物線が一致）のときは頂点が相似の中心となるが，それ以外の場合相似の中心は無限遠点となり平行移動となる．

2つの放物線 $y=a(x-p)^2+q$ と $y=b(x-s)^2+t$ が点 $(u，\ast)$ で接することと，接線の方程式を $y=mx+n$ とおいて1次関数の引き算を行うという線形変換を行った結果である2つの放物線 $y=a(x-p)^2+q-(mx+n)=a(x-u)^2$ と $y=b(x-s)^2+t-(mx+n)=b(x-u)^2$ が点 $(u，0)$ で接することは同値である．この2つの放物線の相似の中心は $(u，0)$ であり，線形変換で相似の中心は相似の中心に移るので，2つの放物線の相似の中心は高々1つであることから，

$y$ 軸に平行な軸をもつ2つの放物線が接するとき，2つの放物線の接点は相似の中心となる．

よって

(i) 2つの頂点が一致するとき，接点は頂点かつ対称の中心である．

(ii) 2つの頂点が異なる場合はその2頂点を結ぶ直線とそれぞれの放物線の頂点以外の交点は一致し，それが接点かつ対称の中心である．

が成り立つ．