https://spherical-harmonics.hatenablog.com/entry/2025/03/30/223847

とっくに書いていると思ったけど見当らなかったので書く．再掲かも知れない．

$x=x(t)$ ， $y=y(t)$ とパラメータ表示された曲線が $t$ の増加と共に動径が反時計回りに動くときの $\alpha\leqq t\leqq \beta$ における動径の掃く面積 $S$ は $S=\dfrac{1}{2}\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta}(xy'-yx')\,dt$ となる，という定理だが，この定理を
$2\left(S+\dfrac{1}{2}(x(\alpha)y(\alpha)+x(\beta)y(\beta))\right)$ $=\left(x(\beta)y(\beta)+\displaystyle\int_{\beta}^{\alpha}yx'\,dt\right)+\left(x(\alpha)y(\alpha)+\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta}xy'\,dt\right)$
から導いている本って見たことないな．この定理を受験業界に広めた安田亨さんも，最近出た東大数学で1点でも多く取る方法理系編[第5版]

作者:安田亨
学参東京出版

でも符号付き三角形の面積 $\dfrac{1}{2}(ad-bc)$ （ $(a，c)$ の左側に $(b，d)$ があることから絶対値を外すことができる）を利用した一次近似で説明している．

まぁ，どの象限にあるかで場合分けが生じるので面倒だから仕方がない訳だけど．

ただ，感覚的に「 $x$ の増加と $y$ の減少が対応するので」 $\displaystyle\int_{\beta}^{\alpha}yx'\,dt$ ， $\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta}xy'\,dt$ で積分区間の上端と下端が逆になるので平均をとるときに $\dfrac{1}{2}\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta}(xy'-yx')\,dt$ となる，という感覚があればこの定理を直感的に理解する助けになるように思う．