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まあこんなもんですかね pic.twitter.com/NVDWOdus4g
— 菫青/Kinsei (@_095y0) 2025年3月23日

統計的なのなの - 球面倶楽部零八式 mark II
1993年(平成5年)東京大学後期-数学[2] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

と似た話．

与えられた式は ${}^t \overrightarrow{p}\left(\overrightarrow{a}{}^t \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}{}^t \overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}{}^t \overrightarrow{c}\right)\overrightarrow{p}$ と変形でき， $\overrightarrow{p}$ が単位ベクトルを動くときのこの値の値域は，主成分分析や、そのときに用いるレイリー商を考えれば半正値対称行列
$\overrightarrow{a}{}^t \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}{}^t \overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}{}^t \overrightarrow{c}$ $=\begin{pmatrix} \overrightarrow{a} & \overrightarrow{b} & \overrightarrow{c}\end{pmatrix}\begin{pmatrix} {}^t \overrightarrow{a} \\ {}^t \overrightarrow{b} \\ {}^t \overrightarrow{c} \end{pmatrix}$
の最小固有値と最大固有値の間の値をとり得る．

これが一定値なのだから，この半正値対称行列の最小固有値と最大固有値は一致するので，これは単位行列の非負定数倍となり，よって $\begin{pmatrix} \overrightarrow{a} & \overrightarrow{b} & \overrightarrow{c}\end{pmatrix}$ は直交行列の定数倍である．

このことから，それを転置した $\begin{pmatrix} {}^t \overrightarrow{a} \\ {}^t \overrightarrow{b} \\ {}^t \overrightarrow{c} \end{pmatrix}$ は $\begin{pmatrix} \overrightarrow{a} & \overrightarrow{b} & \overrightarrow{c}\end{pmatrix}$ の逆行列の定数倍となり，この2つの行列は積について交換可能である．

よって
$\begin{pmatrix} \overrightarrow{a} & \overrightarrow{b} & \overrightarrow{c}\end{pmatrix}\begin{pmatrix} {}^t \overrightarrow{a} \\ {}^t \overrightarrow{b} \\ {}^t \overrightarrow{c} \end{pmatrix}$ $=\begin{pmatrix} {}^t \overrightarrow{a} \\ {}^t \overrightarrow{b} \\ {}^t \overrightarrow{c} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \overrightarrow{a} & \overrightarrow{b} & \overrightarrow{c}\end{pmatrix}$ $=\mbox{I}$
（ $\mbox{I}$ は3次単位行列）となる．

よって
${}^t \overrightarrow{p}\left(\overrightarrow{a}{}^t \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}{}^t \overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}{}^t \overrightarrow{c}\right)\overrightarrow{p}$ $={}^t \overrightarrow{p}\mbox{I}\overrightarrow{p}$ $={}^t \overrightarrow{p}\overrightarrow{p}=1$
となり，その一定値は $1$ である．

X の主の解答は， $\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}，\overrightarrow{c}$ が正規直交になるはずだから，
$\overrightarrow{a}$ と $\overrightarrow{b}\times\overrightarrow{c}$ に着目し，一定値となるならこれらが等しいはず，と考えていることになる．