https://spherical-harmonics.hatenablog.com/entry/2025/03/26/164252

今日はちょっとボリュームありますが、解説面白いと思うのでぜひ読んでみてください
類題が2023山梨大学医学部にあり、話題になってたラグランジュの補完公式についても触れています pic.twitter.com/vDOBsrmuBK
— 菫青/Kinsei (@_095y0) 2025年3月24日

この手の問題で有名なのは大昔の早稲田の問題の 1982年(昭和57年)早稲田大学教育学部-数学[x] で， $(x+1)f(x)-1$ を考える解法は

作者:大塩達一郎
ニュートンプレス

で知った（p.19）．予備校で教えていた頃によく紹介した問題．なお早稲田の問題の答は $\dfrac{4}{5}$ である．

$f(x)=\dfrac{1}{x+1}$ の交点の $x$ 座標が $x=1，2，3，4$ だから，因数定理を用いるために $g(x)=(x+1)f(x)-1$ という多項式を考えるのは，「一度教えられていれば」自然な話である．

[解答]
$g(x)=(x+1)f(x)-1$ とおくと，これは $n+1$ 次の多項式で $g(0)=\cdots =g(n)=0$ ， $g(-1)=-1$ をみたすので
$g(x)=\dfrac{(-1)^{n+2}}{(n+1)!} x(x-1)\cdots (x-n)$
となる．よって
$g(n+1)=(n+2)f(n+1)-1$ ， $g(n+1)=\dfrac{(-1)^{n+2}}{(n+1)!} \cdot (n+1)!$ $=(-1)^n$
により
$f(n+1)=\dfrac{1+(-1)^n}{n+2}$
となる．