https://spherical-harmonics.hatenablog.com/entry/2025/03/26/152553

年度末なので（夏の日数教全国大会も見据えて）1年間の #数学授業の教材から必要なものをまとまった文書にするお仕事に着手しました。
（画像）
①は反比例のグラフ　②は1次関数のグラフ　AP＝BQを示せ（中学生向け） pic.twitter.com/iDLjIaA7Bd
— すど (@ysmemoirs) 2025年3月25日

この問題は1980年代では非常に有名な問題なのに X で「知らなかった」という人が多い．一般の双曲線の場合，例えば東京医大などで出題されている．

問題は

作者:竹之内脩,永田雅宜
培風館

から引用．

当時は1次変換を学んでいたということもあって，双曲線を自分自身に移す1次変換（反比例のグラフは $\mbox{diag}\{t，1/t\}$ の1次変換）を利用して対称性の高い形に変形し，平行線分比は不変となることを利用して解くのがテクニックだった．そして $\rm P=Q$ のとき，つまり双曲線上の点 $\rm P$ における接線と漸近線の2交点を $\rm R，S$ とするときに $\rm P$ が $\rm RS$ の中点（この経験があるので中点の一致を示す方針になりがち）だったり，この場合に $\triangle\rm OSR$ の面積が接点 $\rm P$ の位置によらず一定であるというのも同時に学ぶのが普通であった．

1次変換も学ばなくなって知識の継承が止まってしまったのだろう．本問の場合は双曲線を自分自身に移す必要はなく，対称性の高い位置関係にすれば良いので次のようにすれば良い．

双曲線を $xy=k$ とおく．直線は軸に平行でないので $y=mx+n$ （ $m\neq 0$ ）とおくことができ，よって図形全体を $x$ 軸方向に $m$ 倍拡大（ $m$ は負でも良い）することにより，双曲線 $xy=mk(\neq 0)$ 及び両軸 $xy=0$ と直線 $y=x+n$ との位置関係の問題となる．このとき　直線 $y=x+n$ と $xy=0$ （両軸）との交点を $\rm P'，Q'$ ， $xy=mk$ との交点を $\rm A'，B'$ としたとき， $\rm P'，Q'$ は $x+y=0$ に関して対称であり， $\rm A'，B'$ も $x+y=0$ に関して対称であるから　 $\rm A'P'=B'Q'$ が成立する．拡大によって平行線分比は不変だから $\rm AP=BQ$ も成立する．

となる．つまり

・ $xy=□$ は $x\mapsto -y$ ， $y\mapsto -x$ で同じ式となるので $x+y=0$ について対称

・ $y=mx+n$ 上の線分を $x$ 軸方向に $m$ 倍拡大すると線分の長さは $\dfrac{\sqrt{2}|m|}{\sqrt{1+m^2}}$ 倍( $m$ は固定なので定数倍)になる

ということを認めれば(というかこれを書いておけば)，それ以上の計算は必要がない解法が知られているという訳だ．

もちろん「 $\rm A'B'$ の中点と $\rm P'Q'$ の中点が一致する」という基本的な考え方を使って解くこともできないといけない訳だが（その場合も解と係数の関係をうまく用いるために、 $xy=0$ が持ち出せるようになっていることが望ましい）．

なお，双曲線を自分自身に移す1次変換を利用した双曲線 $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$ のパラメータ表示が
$(x，y)=s(a，b)+t(a，-b)$ （ $4st=1$ ）
というなるという裏技も廃れてしまったようである．

$(x，y)=(a\sec\theta，b\tan\theta)$ ， $(x，y)=(a\cosh\theta，b\sinh\theta)$ は現役っぽいが．

と、投稿したら本人が同じことを書いてた．

（ちなみに「この図の横をぎゅーんと縮めて，縦をぐわーんと伸ばすと，反比例のグラフはもともと積一定だから元のグラフに戻り，直線は傾きが変わるけど長さが等しいのは保存されているから」という，毎度おなじみ擬音のもっとヤバイやつがあります） pic.twitter.com/S0ls0dlZpc
— すど (@ysmemoirs) 2025年3月26日

まぁ、元のグラフに戻す必要はないけどね．あと，解と係数の関係を利用して中点が一致することを視覚化したものが

知らんかった面白すぎる https://t.co/yaooil8U6p pic.twitter.com/SiI2Q4LvLw
— 数学鉄騎農法/たくろう (@tekkinoho) 2025年3月26日

となる．上で $y=\dfrac{k}{x}$ でなく $xy=k$ の形で書いていたのは，そういうこと．「 $xy=0，k$ かつ $y=mx+n$ から $x(mx+n)=0，k$ だから解の平均は解と係数の関係からともに $-\dfrac{n}{2m}$ となる」というのを「 $Y=xy=0，k$ かつ $Y=mx^2+nx$ から（ $x(mx+n)=0，k$ だから）解の平均は放物線の軸 $-\dfrac{n}{2m}$ となる」と読み替えたのである．

ちなみに、

P(a,0), Q(0,b) として、PQ を t:(1-t) に内分する点は (a(1-t),bt) であり、a(1-t)bt は t → 1-t という入れ替えについて対称　なるほど https://t.co/WN30xXfifc
— SSRS (@SSRS_cp) 2025年3月26日

はとてもかしこい．双曲線を自分自身に移す1次変換 $\mbox{diag}(\sqrt{ab}/a，\sqrt{ab}/b)$ ，軸の入れ換え， $\mbox{diag}(a/\sqrt{ab}，b/\sqrt{ab})$ を一度に行なった結果をうまく言い表している（ $t，1-t$ の積の組替えが軸の入れ換えに相当）．