https://spherical-harmonics.hatenablog.com/entry/2025/03/21/223342

まあこれも難問と呼ばれたり呼ばれなかったり…発想はまた後で書きます pic.twitter.com/bTsPI63oSB
— 菫青/Kinsei (@_095y0) 2025年3月21日

1993年(平成5年)東京大学後期-数学[2] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

と同じ話．

[大人の解答]
正四面体の4点の平均値(重心)は球の中心，分散共分散行列は単位行列の定数倍となることから $h$ の平均，及び分散は一定となる．よって $h$ の和，及び2乗和も一定となる．

なお， $h$ の平均は球の半径だから球の半径を $r$ とすると和は $4r$ となる． $h$ の分散は半径 $r=\sqrt{3}R$ の円に内接する四面体の4頂点を $\mbox{A}(R，R，R)$ ， $\mbox{B}(R，-R，-R)$ ， $\mbox{C}(-R，R，-R)$ ， $\mbox{D}(-R，-R，R)$ として，平面が $xy$ 平面の場合を考えれば， $h$ は $R，R，-R，-R$ となるので分散は $R^2$ であることがわかる．よって $h$ の2乗平均は分散に平均の2乗を加えた $\dfrac{r^2}{3}+r^2=\dfrac{4r^2}{3}$ となり，よって2乗和は $\dfrac{16r^2}{3}$ となる．

以上のことを念頭に置くと次のようになる．

[解答]
球面を $x^2+y^2+z^2=3R^2$ とし，その接平面を $ax+by+cz=3R^2$ （ $a^2+b^2+c^2=3R^2$ ， $R\gt 0$ ）とする．またこの球に内接する四面体の4頂点を $\mbox{A}(R，R，R)$ ， $\mbox{B}(R，-R，-R)$ ， $\mbox{C}(-R，R，-R)$ ， $\mbox{D}(-R，-R，R)$ として良く，このとき $h_a=\dfrac{3R-a-b-c}{\sqrt{3}}$ ， $h_b=\dfrac{3R-a+b+c}{\sqrt{3}}$ ， $h_c=\dfrac{3R+a-b+c}{\sqrt{3}}$ ， $h_d=\dfrac{3R+a+b-c}{\sqrt{3}}$ となる（ $\rm A，B，C，D$ は平面に関して $\rm O$ と同じ側にあることを利用して絶対値を外した）ので，和は $4\sqrt{3}R$ となり2乗和は
$4\cdot \dfrac{9R^2+(a^2+b^2+c^2)}{3}=16R^2$ となり，これらは $(a，b，c)$ によらず一定である．

まぁ、球ではなくて平面を動かすことがポイント．