https://spherical-harmonics.hatenablog.com/entry/2025/03/13/184136

https://x.com/toppocky6/status/1898673859693592713
(2025.06.15記いつのまにか見えなくなった)

${}_{2n}\mbox{C}_n$ を二項係数とするとき，
$\dfrac{1}{\sqrt{2n}}\leqq\dfrac{{}_{2n}\mbox{C}_n}{4^n}\leqq\dfrac{1}{\sqrt{2n+1}}$ を示せ．

2023年(令和5年)京都大学理学部特色入試・数理科学入試-数学[2] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR
の結論である $\dfrac{1}{n+1}e^{nH\left(\frac{m}{n}\right)}\leqq {}_n\mbox{C}_m\leqq e^{nH\left(\frac{m}{n}\right)}$ を用いると（ $n\to 2n，m\to n$ ）， $\dfrac{1}{2n+1}e^{2nH\left(\frac{1}{2}\right)}\leqq {}_{2n}\mbox{C}_n\leqq e^{2nH\left(\frac{1}{2}\right)}$ ，つまり
$\dfrac{1}{2n+1}\leqq \dfrac{{}_{2n}\mbox{C}_n}{4^n} \leqq 1$
となる．ただ京大の問題は全ての $m$ に関して成立する不等式であるから証明はやや面倒だが，中央二項係数の場合は少し楽である(右辺は同じ)

正の値をとる2項係数 ${}_{2n}\mbox{C}_k$ （ $k=0，\ldots，n$ ）の最大値である ${}_{2n}\mbox{C}_n$ は平均値よりも大きく，合計よりも小さいので $\dfrac{2^{2n}}{n+1}\leqq {}_{2n}\mbox{C}_n\leqq 2^{2n}$ が成立する．

この不等式は次のように改良される．
$P=\dfrac{(2n-1)!!}{(2n)!!}=\dfrac{(2n!)}{\{(2n)!!\}^2}=\dfrac{(2n!)}{4^n(m!)^2}=\dfrac{{}_{2n}\mbox{C}_n}{4^n}$
であり，
$1\gt \left(1-\dfrac{1}{2^2}\right)\cdots\left(1-\dfrac{1}{(2n)^2}\right)=\left(\dfrac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\right)^2\cdot (2n+1)=(2n+1)P^2$ ，
$1\gt \left(1-\dfrac{1}{3^2}\right)\cdots\left(1-\dfrac{1}{(2n-1)^2}\right)=\left(\dfrac{(2n)!!}{(2n-1)!!}\right)^2\cdot \dfrac{1}{2\cdot 2n}=\dfrac{1}{4nP^2}$
であるから，
$\dfrac{1}{4n}\leqq P^2\leqq \dfrac{1}{2n+1}$
が成立する．まぁ，これがエレガントなのだろう．この証明は

1. 二項係数の評価（前回のつづき）(pdf)

に書いてあった．

なお，Wallis 積分を考えると
$I_{2n}=\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^{2n} x\, dx$ $=\dfrac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\cdot\dfrac{\pi}{2}=\dfrac{{}_{2n}\mbox{C}_n}{4^n}\cdot \dfrac{\pi}{2}$
であるから，

$\dfrac{2}{\pi\sqrt{n}}$ $\leqq\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^{2n} x\, dx\leqq\dfrac{2}{\pi \sqrt{2n+1}}$ を示せ．

となるが，被積分関数を評価してうまく示せないかと思ったが，うまくいかない．

$\dfrac{2}{\pi}$ が登場するので Jordan の不等式 $\dfrac{2}{\pi}x\leqq\sin x$ を使うのか，積分のシュワルツの不等式を使うのか，と考えてみたもののうまくいかない．

なお，カタラン数 $C_n$ について
$\dfrac{4^n}{2\sqrt{2n}(n+1)}\leqq C_n \leqq\dfrac{4^n}{\sqrt{2n+1}(n+1)}$
と評価できるということになる(スターリングの公式から $C_n\approx \dfrac{4^n}{\sqrt{\pi} n^{1.5}}$ )．