https://spherical-harmonics.hatenablog.com/entry/2025/02/20/164231

$y=f(x)$ と $y=mx$ が $x=p，q$ で交わり， $p\lt x\lt q$ で交点を持たないとする．

この範囲で囲まれた部分を $D$ とし，その面積を $S$ とする．

線形変換 $\begin{pmatrix} X\\ Y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -m & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$
によって $D$ は $Y=f(X)-mX$ と $x$ 軸で囲まれた部分となり，これを $D'$ とする．この面積は $S$ である．

$D'$ の重心を $(a，b)$ とすると， $D'$ を $x$ 軸のまわりに回転してできる立体の体積はパップスギュルダンの第二定理から $V'=2\pi |b| S$ となる．

線形変換により重心は重心に移るので $D$ の重心は $(a，b+ma)$ であり，この点と $y=mx$ の距離は $\dfrac{|b|}{\sqrt{1+m^2}}$ であるから， $D$ を $x$ 軸のまわりに回転してできる立体の体積はパップスギュルダンの第二定理から $V=2\pi \dfrac{|b|}{\sqrt{1+m^2}} S=\dfrac{V'}{\sqrt{1+m^2}}$ となる．

この証明もなかなかいいな．