https://spherical-harmonics.hatenablog.com/entry/2025/02/13/222142

1933年(昭和8年)京都帝國大學工學部-數學[4] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR の内容の一部を移動

2025.02.04記

$x^2+y^2=R^2$ の動径が $-\theta$ から $\theta$ （ $0\leqq\theta\leqq \pi$ ）までの扇形の重心は $\left(\dfrac{2R}{3}\cdot \dfrac{\sin\theta}{\theta}，0\right)$ である．

一般に図形 $S$ の重心の座標は，その面積を $S$ で表すと
$\left(\dfrac{1}{S}\displaystyle\int_S x\,dxdy，\dfrac{1}{S}\displaystyle\int_S y\,dxdy\right)$
である．上記扇形について，線対称性により重心の $y$ 座標は $x$ 軸上にある．重心の $x$ 座標を $g$ とすると $S=\dfrac{1}{2}R^2(2\theta)=R^2\theta$ だから
$g=\dfrac{1}{R^2\theta}\displaystyle\int_{r=0}^R \int_{\phi =-\theta}^{\theta} (r\cos\phi)\, rdr d\phi$ $=\dfrac{1}{R^2\theta}\displaystyle\int_{0}^R r^2 \, dr\cdot \int_{-\theta}^{\theta} \cos\phi\, d\phi$ $=\dfrac{1}{R^2\theta}\cdot\dfrac{2R^3\sin\theta}{3}$ $=\dfrac{2R}{3}\cdot\dfrac{\sin\theta}{\theta}$
が成立する．

参考：1930年(昭和5年)東京帝國大學理學部-數學[3] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR