https://spherical-harmonics.hatenablog.com/entry/2025/02/10/212948

2025年2月10日21時29分48秒

（私自身は「こうすれば無数に原始半ピタゴラス数がつくれそう」くらいはつかんでいますが，それ以外に存在しないかどうかとかは見当もついていません） https://t.co/Fzr35RKLpS
— すど (@ysmemoirs) 2025年2月10日

$t$ を $1\leqq t\lt 2$ なる有理数とするとき
$x\leqq y$ ， $x^2+y^2=2$ なる $x，y$ は
$x=\dfrac{2t+(1-t^2)}{t^2+1}$ ， $y=\dfrac{2t-(1-t^2)}{t^2+1}$
で全てを尽す．

しかし $n\leqq m\lt 2n$ なる自然数 $m，n$ を用いて
$a^2+b^2=2c^2$ （ $a\leqq b$ ）を満たす整数解は $t=\dfrac{m}{n}$ を用いて書き換えた
$a=2mn+n^2-m^2$ ， $b=2mn+m^2-n^2$ ， $a=m^2+n^2$
ではなく，これを約分したものが原始解となる
（ $m，n$ が奇数の場合は $a，b，c$ は全て偶数なので約分できる）．
．

2025.02.11追記

最初， $x^2+y^2=2$ と，この円上の点 $(-1，-1)$ を通る傾き $t$ の直線との交点としてパラメータ表示を得たが
$(\sin\theta+\cos\theta)^2+(\sin\theta-\cos\theta)^2=2$
をワイエルシュトラス変換すると
$x=\sin\theta+\cos\theta=\dfrac{2t+(1-t^2)}{1+t^2}$ ，
$y=\sin\theta-\cos\theta=\dfrac{2t-(1-t^2)}{1+t^2}$
が得られる，としても良いか．

で，この結果から
原始ピタゴラス数 $(a，b，c)$ （ $a\lt b\lt c$ ）が得られれば
（ $a$ と $b$ は偶奇が異なるので）
$(b-a，b+a，c)$ は半ピタゴラス数（ $b-a，b+a$ は共に奇数）となることもわかる．

$a，b$ は偶奇が異なり互いに素なので
$\mbox{gcd}(b-a，b+a)$ $=\mbox{gcd}(b-a，2a)$ $=\mbox{gcd}(b-a，a)$ $=\mbox{gcd}(b，a)=1$
だから $(b-a，b+a，c)$ は原始半ピタゴラス数となる．

また， $A^2+B^2=2C^2$ において右辺は偶数だから $A，B$ の偶奇は一致するので， $A，B$ が互いに素ならば共に奇数である．
よって $(A，B，C)$ （ $A\lt B$ ， $A=B$ とはならない）が原始半ピタゴラス数であるならば $A，B$ は共に奇数であるから
$\left(\dfrac{B-A}{2}，\dfrac{B+A}{2}，C\right)$ は自然数の組となり，ピタグラス数となるが
$\mbox{gcd}\left(\dfrac{B-A}{2}，\dfrac{B+A}{2}\right)$ $=\mbox{gcd}\left(\dfrac{B-A}{2}，A\right)$ $=\mbox{gcd}(B-A，A)$ （∵ $A$ は奇数）
$=\mbox{gcd}(B，A)=1$
となるので原始ピタゴラス数である．