https://spherical-harmonics.hatenablog.com/entry/2025/01/17/120554

第一種オイラー積分あるいはベータ積分(自然数版) - 球面倶楽部零八式 mark II とは関係ない話．

赤熊が

#統計教育用の図

確率pで1が、確率1-pで0が得られるベルヌーイ試行から、二項分布と負の二項分布がただちに得られるのですが、連続時間極限でポアソン分布やガンマ分布も得られます。中心極限定理で正規分布に行く。

ベルヌーイ試行は教育用によく使われる。そこから地に足をつけて進む解説法。 pic.twitter.com/x6R6CmqePo
— 黒木玄 Gen Kuroki (@genkuroki) 2022年4月12日

の一連の流れで述べている

#統計ベータ函数について知ると誰でも

　ほぼ二項係数の逆数になっている。でもちょっと違う。

という方向で疑問に感じるのが普通だと思いますが、このスレッドの立場では

　ベータ函数の逆数が多項係数の特殊な場合として必然的に出て来る

という感じになっています。
— 黒木玄 Gen Kuroki (@genkuroki) 2022年4月14日

「ベータ函数について知ると誰でも

　ほぼ二項係数の逆数になっている。でもちょっと違う。

という方向で疑問に感じるのが普通だと思いますが、このスレッドの立場では

　ベータ函数の逆数が多項係数の特殊な場合として必然的に出て来る

という感じになっています。」

というのは非常に良いことを書いている．

特に

#統計

 ウィキペディア https://t.co/rk260HsXZq にも書いてある方法の良いところは、ベータ函数の逆数1/B(a,b)が二項係数から少しずれている理由が、実はそれは多項係数の特別な場合であったことだと分かることです。

ディリクレ分布も同様に順序統計量の同時分布として一瞬で出せる→添付画像② pic.twitter.com/Mh33Q9CcBO
— 黒木玄 Gen Kuroki (@genkuroki) 2022年5月26日

にある
$\displaystyle\int_0^1 \dfrac{(m+n+1)!}{m!\cdot 1!\cdot n!} x^m (1-x)^n\,dx=1$
という見方，つまり $X_k\sim U[0，1]$ for $k=1，\ldots，m+n+1$ において $m+1$ 番目に小さい値が従う分布の p.d.f. が
$\dfrac{(m+n+1)!}{m!\cdot 1!\cdot n!} x^m (1-x)^n$
（例えば順序統計量 - Wikipedia）
であることから，
$\displaystyle\int_0^1 \dfrac{(m+n+1)!}{m!\cdot 1!\cdot n!} x^m (1-x)^n\,dx=1$ ，
つまり
$\displaystyle\int_0^1 x^m (1-x)^n\,dx=\dfrac{m!\cdot n!}{(m+n+1)!}$
が成立する，というのは非常に良い．