https://spherical-harmonics.hatenablog.com/entry/2025/01/13/183012

作者:T.M. Apostol,M.A. Mnatsakanian
共立出版

The area of a tangent sweep is equal to the area of its tangent cluster, regardless of the shape of the original curve.

回転体の体積を求めたりするときに，軸へ被回転体を正射影する方法が有名で，そこでも用いられる手法．

1924年(大正13年)京都帝國大學工學部-數學[2] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR
1979(昭和54年)早稲田大学理工学部-数学[6] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

などに応用できる定理．この定理は基本的に伸開線にしか使いみちがない感じだ．
(サイクロイドの伸開線としてサイクロイドを得ることができるし)
あと大学入試で出た伸開線は、懸垂線の伸開線としての牽引曲線か．でも牽引曲線と面積は入試では見たことがないな．

(2025.02.19追記
2025年(令和7年)早稲田大学理工学部-数学[2] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR
に応用できるという使いみちがあった．この手の問題のはみだし削り論法に使うことができる)

まずサイクロイドの1つの弓形の部分と基線で囲まれる部分の面積の半分について．
$x=a(\theta-\sin\theta)$ , $y=a(1-\cos\theta)$ （ $0\lt\theta\lt\pi$ ）
のとき，
$\dfrac{dx}{d\theta}=a(1-\cos\theta)$ , $\dfrac{dy}{d\theta}=a\sin\theta$
であるから，
$\mbox{P}(a(\theta-\sin\theta)，a(1-\cos\theta))$
に対して
$\overrightarrow{\mbox{PQ}}=\dfrac{1+\cos\theta}{\sin\theta}\left(\dfrac{dx}{d\theta}，\dfrac{dy}{d\theta}\right)$ $=(a\sin\theta，a(1+\cos\theta))$
によって $\mbox{Q}$ を定めると，
$\mbox{Q}(a\theta，2a)$
となるので， $y$ 座標に着目すると $\overrightarrow{\mbox{PQ}}$ の掃く面積は
$a\pi\times 2a -(求める面積の半分)$
となる（wikipedia の図の左半分となる）．

ここで
$\overrightarrow{\mbox{PQ}}=(a\sin\theta，a(1+\cos\theta))$ $=2a\cos\dfrac{\theta}{2}\left(\sin\dfrac{\theta}{2}，\cos\dfrac{\theta}{2}\right)=:(X,Y)$
について $X^2+Y^2=4a^2\cos^2\dfrac{\theta}{2}=2aX$ から $(X-a)^2+Y^2=a^2$ 上を $(0，2a)$ から $(0，0)$ まで半円分だけ掃くので，掃く面積は $\dfrac{\pi a^2}{2}$ となる．

よって $2a^2\pi -(求める面積の半分)=\dfrac{\pi a^2}{2}$ となり，求める面積は $3a^2\pi$ となる．

次に早稲田の問題の円の伸開線について $\overrightarrow{\mbox{PQ}}$ の掃く面積は
$\dfrac{1}{2} \displaystyle\int_0^{\pi} |\overrightarrow{\mbox{PQ}}|^2\,dt$ $=\dfrac{1}{2} \displaystyle\int_0^{\pi} t^2\,dt$ $=\dfrac{\pi^3}{6}$
と求まる．

VisualCalculus(pdf)

に懸垂線の伸開線の掃く面積についてのスライドがある(Slide 22)

また，このあたりの話は栗田稔先生が現代数学に連載していたと思うので発掘しなくては．

2025.01.17追記
発掘した．

2016年に

F.Sanacory, An extension of Mamikon's theorem, Int'l J. of Pure and App. Math. Oct., 2016
(ResearchGate から取れる)

という論文が発表されたが，その主たる内容である Theorem 3.1 の内容は

栗田稔，輪転曲線と面積，現代数学，1975年11月号

に
$S=\displaystyle\int l\sin\theta\,ds-\dfrac{1}{2}\int l^2(k\, ds+d\theta)$
（ $k$ は曲率）として示されてる（Sanacory の文献と符号が違うのは考えている曲線の凹凸が逆になっており曲率と角度の正負が逆になっているから）．

ここで曲線の接ベクトルの，定ベクトル（例えば $(1，0)$ ）あら測った角度を $\varphi$ とすると $k=\dfrac{d\varphi}{ds}$ となるので
$S=\displaystyle\int l\sin\theta\,ds-\dfrac{1}{2}\int l^2(d\varphi+d\theta)$
となり，より Sanacory の表現と近くなる（ $\varphi$ も栗田先生の記事で定義されている）

その特殊な場合，つまり $l$ ， $\theta=\dfrac{\pi}{2}$ が一定で周長 $L$ のなめらかな閉曲線の外側を一周するときは， $\displaystyle\int d\varphi=2\pi$ だから
$S=l \displaystyle\int ds-\dfrac{l^2}{2}\int d\varphi$ $=lL+\pi l^2$
となり中学受験や高校受験の「センターラインの公式」として人口に膾炙した（凸多角形のまわりに円が転がる場合がほとんどだが）．

また， $\theta=0$ で一定（ $l$ は可変）の場合，
$S=-\displaystyle\dfrac{1}{2}\int l^2 d\varphi$
となり，マミコンの定理となる．

さらに栗田先生の記事では「輪転曲線と面積」というだけあって，半径 $r$ の円周上を半径 $a$ の転円が一周するときのエピサイクロイドと半径 $r$ の円周で囲まれる部分の面積が
$3\pi a^2+\dfrac{2\pi a^3}{r}$
（ $r\to +\infty$ でサイクロイドと基線の囲む面積 $3 a^2\pi$ となる）
ということも示している．

2025.03.23追記
栗田先生の記事の内容は

作者:栗田稔
現代数学社

の5章に同等な記事がある（センターラインの公式を意識した線分の中点を利用しての記述となっている）．