https://spherical-harmonics.hatenablog.com/entry/2024/11/26/235654

剰余の定理は多項式 $f(x)$ を $x-a$ で割った余りは $f(a)$ となる，というやつ．

因数定理は多項式 $f(x)$ について $f(a)=0$ と $f(x)$ が $x-a$ を因数にもつことが同値，というやつ．

両者を組み合わせると

多項式 $f(x)$ について $f(x)-f(a)$ は任意の $a$ に対して $x-a$ を因数にもつ

ことがわかる．この商を $g_a(x)$ とおくと
$f(x)-f(a)=g_a(x)(x-a)$ for all $a$
となる．つまり，因数定理は $f(x)-f(a)$ から $x-a$ を取り出す定理である．

一方，平均値の定理 $f(x)-f(a)=f'(c)(x-a)$ も $f(x)-f(a)$ から $x-a$ を取り出す定理であるから，因数定理の一般化が平均値の定理という見方もできる．

なお， $\displaystyle\lim_{x\to a} g_a(x)$ $=\displaystyle\lim_{x\to a}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a} =f'(a)$ となることからも因数定理と平均値の定理の関係が見えてくるだろう．