https://spherical-harmonics.hatenablog.com/entry/2024/11/17/002638

二項分布 $B(n，x)$ において $P(x=k)=\mbox{C}_k x^k(1-x)^{n-k}$ である．ここで $x$ が $U[0,1]$ の一様分布から得られると仮定すると
$\displaystyle\int_0^1 \sum_{k=0}^n {}_n\mbox{C}_k x^k(1-x)^{n-k}=1$
が成立し， $\displaystyle\sum$ と $\displaystyle\int$ の交換を許せば
$\displaystyle\sum_{k=0}^n \left(\int_0^1{}_n\mbox{C}_k x^k(1-x)^{n-k}\right)\, dx =1$
が成立する．ここで面白いのは， $\displaystyle\int_0^1{}_n\mbox{C}_k x^k(1-x)^{n-k}=\dfrac{1}{n+1}$ が $k$ によらず一定であるため， $\displaystyle\sum_{k=0}^n \dfrac{1}{n+1}=1$ という式になるところである．

この $\displaystyle\int_0^1{}_n\mbox{C}_k x^k(1-x)^{n-k}\, dx=\dfrac{1}{n+1}$ が $k$ によらず一定であることを認めれば，
$\displaystyle\int_0^1x^k(1-x)^{n-k}\, dx =\dfrac{1}{(n+1){}_n\mbox{C}_k} =\dfrac{k!(n-k)!}{(n+1)!}$
が成立し， $n-k=m$ と置くと
ベータ積分あるいは第一種オイラー積分(自然数版)の
$\displaystyle\int_0^1x^k(1-x)^{m}=\dfrac{k!m!}{(k+m+1)!}$
が得られる．

ここで $I_{n,k}=\displaystyle\int_0^1{}_n\mbox{C}_k x^k(1-x)^{n-k}\, dx=\dfrac{1}{n+1}$ が $k$ によらず一定であることを示すのは普通に部分積分をすれば
$1\leqq k\geqq n$ のとき
$I_{n,k}=\Bigl[ {}_n\mbox{C}_k x^k\cdot\dfrac{(1-x)^{n-k+1}}{n-k+1}\Bigl]_0^1$ $+\displaystyle\int_0^1 \dfrac{k{}_n\mbox{C}_k}{n-k+1} x^{k-1}(1-x)^{n-k+1}\, dx$
$=\displaystyle\int_0^1{}_n \mbox{C}_{k-1} x^{k-1}(1-x)^{n-k+1}\, dx=I_{n,k-1}$
が成立するので，
$I_{n,n}=I_{n,n-1}=\cdots=I_{n,0}$
となり，これらの合計が1であることから
$I_{n,n}=I_{n,n-1}=\cdots=I_{n,0}=\dfrac{1}{n+1}$
が成立する．

二項分布では，成功確率 $x$ は固定されるので， $I_{n,k}=\displaystyle\int_0^1{}_n\mbox{C}_k x^k(1-x)^{n-k}\, dx$ を考えることは普通しないように思うのだが，この結果には何か統計的な意味を持たせられそうな気がするのだが、、、。

とりあえず，成功確率が一様分布 $U[0,1]$ に従うとき，コインを $n$ 回投げて表が $k$ 回出たとするときの $k$ の周辺分布が一様分布になる，ということだから割りと簡単に意味付けできそうではある．

2024.11.17追記
このシグマと積分の交換の応用例

インテグラルの線形性って便利だなあ pic.twitter.com/txJ3N2Fjm4
— 知りすぎたSiri (@SillyS1ri) 2024年11月16日

$\displaystyle\sum_{k=0}^n \dfrac{{}_n\mbox{C}_k}{k+1}$ $=\displaystyle\sum_{k=0}^n\left( {}_n\mbox{C}_k\int_0^1 x^k\,dx\right)$ $=\displaystyle\int_0^1 \left(\sum_{k=0}^n {}_n\mbox{C}_k x^k\right)\,dx$ $=\displaystyle\int_0^1 (1+x)^n\,dx$ $=\dfrac{2^n-1}{n+1}$